MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 164

a) Podstawa walca jest opisana na kwadracie o boku $6$, więc $R=3\sqrt2$, a wysokość walca wynosi $6$. Zatem $V=\pi(3\sqrt2)^2\cdot6=108\pi\ \text{cm}^3.$

b) Dla sześcianu o boku $a$ walec opisany ma promień $a\sqrt2/2$, a wpisany $a/2$; wysokości obu są równe $a$. Iloraz objętości jest zatem ilorazem kwadratów promieni.

Walec opisany na stożku ma ten sam promień podstawy i tę samą wysokość. Dla tworzącej $l=6$ i kąta rozwarcia $\alpha$ połowa przekroju osiowego daje $r=6\sin\frac\alpha2,\qquad h=6\cos\frac\alpha2.$ Zatem $V=216\pi\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2.$

a) Podstawiamy $\alpha=45^\circ$ i korzystamy ze wzorów połowy kąta.

b) Z $\cos\alpha=1/9$ wynika $\sin^2(\alpha/2)=4/9$ i $\cos(\alpha/2)=\sqrt5/3$.

Jeśli walec o promieniu $r$ i wysokości $x$ jest wpisany w stożek o promieniu $R$, wysokości $H$ i kącie rozwarcia $\alpha$, to z podobieństwa przekrojów $R=r+x\tan\frac\alpha2,\qquad H=x+r\cot\frac\alpha2.$

a) Dla $r=1$, $x=4$ i $\alpha=90^\circ$ dostajemy $R=H=5$, więc $V=\frac13\pi R^2H=125\pi/3$.

b) Dla $r=\sqrt3$, $x=2$ i $\alpha=120^\circ$ otrzymujemy $R=3\sqrt3$, $H=3$ oraz tworzącą $l=6$.

Niech $a$ będzie promieniem podstawy stożka. Jest on zarazem bokiem sześciokąta foremnego, a wysokość $h$ jest wspólna dla obu brył. Pola podstaw wynoszą odpowiednio

Niech bok kwadratowej podstawy ostrosłupa będzie równy $a$, a wspólna wysokość obu brył niech będzie równa $h$. Promień koła wpisanego w kwadrat wynosi $a/2$. Zatem $V_o=\frac13a^2h,$ $V_s=\frac13\pi\left(\frac a2\right)^2h=\frac{\pi a^2h}{12}.$ Po podzieleniu pierwszej objętości przez drugą otrzymujemy żądaną stałą.