MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 156

Przekrój ostrosłupa przez wierzchołek, wysokość i środki dwóch przeciwnych krawędzi podstawy jest trójkątem równoramiennym. Jego podstawa ma długość $a$, a kąty przy podstawie są równe kątowi dwuściennemu $\beta$. Promień kuli jest promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Dla połowy przekroju

$$H=\frac a2\tan\beta, \qquad m=\frac{a}{2\cos\beta},$$

gdzie $m$ jest wysokością ściany bocznej. Z ilorazu pola trójkąta i jego półobwodu otrzymujemy

$$r=\frac{\frac12aH}{\frac a2+m} =\frac a2\cdot\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta} =\frac a2\tan\frac\beta2.$$

a) Tutaj $a=18$ oraz $\beta=2\alpha$, więc

$$r=9\tan\alpha=9\cdot\frac13=3\ \text{cm}.$$

Objętość kuli jest równa

$$V_k=\frac43\pi r^3=36\pi\ \text{cm}^3.$$

b) Dla $a=4\sqrt3$ i $r=2$ mamy

$$2=2\sqrt3\tan\frac\beta2, \qquad \tan\frac\beta2=\frac1{\sqrt3}.$$

Zatem $\beta/2=30^\circ$, czyli $\beta=60^\circ$. Wysokość ostrosłupa:

$$H=2\sqrt3\tan60^\circ=6\ \text{cm}.$$

Jego objętość wynosi

$$V=\frac13a^2H =\frac13(4\sqrt3)^2\cdot6 =96\ \text{cm}^3.$$