MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 154

Oznaczmy połowę wysokości pierścienia przez

$$a=\frac h2.$$

Niech $\rho$ będzie promieniem walca wyciętego z kuli. Z przekroju osiowego kuli wynika

$$\rho^2+a^2=R^2, \qquad \rho^2=R^2-a^2.$$

Rozważmy przekrój pierścienia płaszczyzną odległą o $x$ od środka kuli, gdzie $|x|\le a$. Zewnętrzny promień przekroju ma kwadrat $R^2-x^2$, a wewnętrzny promień jest równy $\rho$. Pole przekroju wynosi więc

$$P(x)=\pi\left(R^2-x^2-\rho^2\right) =\pi(a^2-x^2).$$

Jest to dokładnie pole przekroju kuli o promieniu $a$ na tej samej wysokości $x$. Z zasady Cavalieriego pierścień ma zatem taką objętość jak kula o promieniu $a$:

$$V=\frac43\pi a^3 =\frac43\pi\left(\frac h2\right)^3 =\frac16\pi h^3.$$

We wzorze nie występuje $R$, więc objętość zależy wyłącznie od $h$.