MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 157

Kula wpisana w sześcian ma średnicę równą krawędzi sześcianu.

a) Dla krawędzi $a=6$:

$$r=\frac a2=3, \qquad V=\frac43\pi r^3=36\pi.$$

b) Jeśli przekątna sześcianu ma długość $8$, to

$$a\sqrt3=8, \qquad a=\frac{8\sqrt3}{3}, \qquad r=\frac a2=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Stąd

$$V=\frac43\pi\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^3 =\frac{256\sqrt3}{27}\pi.$$

Promień kuli jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt będący przekrojem osiowym stożka.

a) Dla trójkąta równobocznego o boku $12$ promień okręgu wpisanego wynosi

$$r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3.$$

b) Przekrój jest równoramiennym trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $6$. Jego przyprostokątne mają długość $3\sqrt2$. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy połowie różnicy sumy przyprostokątnych i przeciwprostokątnej:

$$r=\frac{3\sqrt2+3\sqrt2-6}{2} =3(\sqrt2-1).$$

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Promień wpisanej kuli wynosi $r=a/2$. Zatem

$$V_s=a^3,$$ $$V_k=\frac43\pi\left(\frac a2\right)^3 =\frac{\pi a^3}{6}.$$

Stosunek objętości jest równy

$$\frac{V_s}{V_k} =\frac{a^3}{\pi a^3/6} =\frac6\pi.$$

Niech $H$ oznacza wysokość ostrosłupa. Odległość środka podstawy od jej wierzchołka jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, czyli $a/\sqrt3$. Zatem

$$H=\sqrt{(2a)^2-\left(\frac a{\sqrt3}\right)^2} =\frac{a\sqrt{33}}3.$$

Pole podstawy jest równe

$$P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Wysokość każdej ściany bocznej wynosi

$$m=\sqrt{(2a)^2-\left(\frac a2\right)^2} =\frac{a\sqrt{15}}2.$$

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+3\cdot\frac12am =\frac{a^2}{4}(\sqrt3+3\sqrt{15}).$$

Łącząc środek wpisanej kuli ze wszystkimi ścianami, rozkładamy ostrosłup na ostrosłupy o wspólnej wysokości $r$. Dlatego $V=\frac13P_cr$. Z drugiej strony $V=\frac13P_pH$, więc

$$r=\frac{P_pH}{P_c} =\frac{a\sqrt{33}}{3(1+3\sqrt5)} =\frac{(3\sqrt5-1)\sqrt{33}}{132}a.$$

a) Walec opisany na kuli o promieniu $r=2$ ma taki sam promień podstawy oraz wysokość równą średnicy kuli, czyli $h=4$. Stąd

$$V=\pi r^2h=\pi\cdot2^2\cdot4=16\pi.$$

b) Przekrój osiowy walca opisanego na kuli jest kwadratem. Jego przekątna ma długość $\sqrt2$, więc bok kwadratu ma długość

$$a=\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1.$$

Bok ten jest średnicą kuli, zatem

$$r=\frac12.$$

Niech promień wpisanej kuli będzie równy $r$. Walec ma wtedy promień podstawy $r$ i wysokość $2r$.

Pole powierzchni całkowitej walca wynosi

$$P_w=2\pi r^2+2\pi r\cdot2r=6\pi r^2,$$

a pole powierzchni kuli

$$P_k=4\pi r^2.$$

Zatem

$$P_w:P_k=6:4=3:2.$$

Objętości są równe

$$V_w=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3, \qquad V_k=\frac43\pi r^3.$$

Wobec tego

$$V_w:V_k=2:\frac43=3:2.$$

Oba wymagane stosunki są więc równe $3:2$, co kończy dowód.