MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 153

Dla podobnych ostrosłupów wysokości i krawędzie są proporcjonalne do skali $k$, pola do $k^2$, a objętości do $k^3$.

Dla $O_2$ porównanie krawędzi z $O_1$ daje

$$k=\frac96=\frac32.$$

Stąd

$$h_2=8\cdot\frac32=12, \quad P_2=36\left(\frac32\right)^2=81, \quad V_2=96\left(\frac32\right)^3=324.$$

Dla $O_3$ mamy $P_3/P_1=144/36=4$, więc $k=2$. Zatem

$$h_3=16, \quad a_3=12, \quad V_3=96\cdot2^3=768.$$

Dla $O_4$ mamy $V_4/V_1=12/96=1/8$, więc $k=1/2$. Zatem

$$h_4=4, \quad a_4=3, \quad P_4=9.$$

Uzupełniona tabela ma postać:

Skale w podanej kolejności wynoszą:

$$O_1:O_2=2:3, \quad O_1:O_3=1:2, \quad O_2:O_3=3:4, \quad O_3:O_4=4:1.$$

Górna część jest ostrosłupem podobnym do całego ostrosłupa. Jeśli skala liniowa górnego ostrosłupa do całego wynosi $k$, to jego część objętościowa wynosi $k^3$, a część dolna $1-k^3$.

a) Na rysunku odpowiadające długości przekroju i podstawy wynoszą $3$ i $4$, więc $k=3/4$.

$$V_g:V_d=\frac{27}{64}:\frac{37}{64}=27:37.$$

b) Wysokość górnej części wynosi $2$, a całego ostrosłupa $2+3=5$, więc $k=2/5$.

$$V_g:V_d=\frac8{125}:\frac{117}{125}=8:117.$$

c) Odpowiadający odcinek górnej części ma długość $4$, a cała krawędź $4+2=6$, więc $k=2/3$.

$$V_g:V_d=\frac8{27}:\frac{19}{27}=8:19.$$

Niech $H$ będzie wysokością całego stożka, a $x$ wysokością odciętego górnego stożka. Obie części mają równe objętości, więc mały stożek ma połowę objętości całego stożka:

$$\left(\frac{x}{H}\right)^3=\frac12.$$

Stąd

$$\frac{x}{H}=\frac1{\sqrt[3]{2}}.$$

Drugi odcinek wysokości ma długość $H-x$. Po pomnożeniu obu części stosunku przez $\sqrt[3]{2}/H$ dostajemy

$$x:(H-x)=1:(\sqrt[3]{2}-1).$$

a)

Przedłużmy tworzące stożka ściętego do wspólnego wierzchołka. Niech $x$ będzie wysokością odciętego małego stożka. Z podobieństwa stożków:

$$\frac{r}{R}=\frac{x}{x+h}, \qquad x=\frac{rh}{R-r}, \qquad x+h=\frac{Rh}{R-r}.$$

Objętość stożka ściętego jest różnicą objętości pełnego i małego stożka:

$$V=\frac13\pi\left(R^2(x+h)-r^2x\right).$$

Po podstawieniu:

$$V=\frac13\pi h\frac{R^3-r^3}{R-r} =\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2).$$

b)

Niech $y$ będzie tworzącą małego stożka. Wtedy tworząca pełnego stożka ma długość $y+l$. Z podobieństwa:

$$\frac{r}{R}=\frac{y}{y+l}, \qquad y=\frac{rl}{R-r}, \qquad y+l=\frac{Rl}{R-r}.$$

Pole boczne stożka ściętego jest różnicą pól bocznych obu stożków:

$$P_b=\pi R(y+l)-\pi ry =\pi l\frac{R^2-r^2}{R-r} =\pi l(R+r).$$

Niech $x$ będzie promieniem koła, w którym poprowadzono płaszczyznę podziału. Dwa powstałe stożki ścięte są podobne, więc odpowiadają sobie promienie $1$ i $x$ oraz $x$ i $4$:

$$\frac1x=\frac{x}{4}.$$

Stąd $x^2=4$, czyli $x=2$. Promień stożka rośnie liniowo z odległością od wierzchołka. Zmiana promienia od $1$ do $2$ stanowi jedną trzecią całej zmiany od $1$ do $4$, zatem wysokości części wynoszą $2\ \text{cm}$ i $4\ \text{cm}$.

Korzystamy ze wzoru na objętość stożka ściętego:

$$V_1=\frac13\pi\cdot2(1^2+1\cdot2+2^2) =\frac{14}{3}\pi\ \text{cm}^3,$$ $$V_2=\frac13\pi\cdot4(2^2+2\cdot4+4^2) =\frac{112}{3}\pi\ \text{cm}^3.$$

Załóżmy, że $r_1<r_2$, a promień wspólnego przekroju obu stożków ściętych jest równy $x$. Jeśli skala mniejszego stożka ściętego do większego wynosi $k$, to odpowiadające sobie promienie spełniają

$$k=\frac{r_1}{x}=\frac{x}{r_2}.$$

Mnożąc skrajne równości, otrzymujemy

$$k^2=\frac{r_1}{r_2}.$$

Skala jest dodatnia, więc

$$k=\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}.$$

Otrzymana równość jest tezą zadania.