MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 152

Walce są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki odpowiadających sobie promieni oraz wysokości są równe.

a)

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{20}{12}=\frac53, \qquad \frac{h_1}{h_2}=\frac{24}{15}=\frac85.$$

Stosunki nie są równe, więc walce nie są podobne.

b)

$$\frac{r_1}{r_2}=\frac{12}{9}=\frac43, \qquad \frac{h_1}{h_2}=\frac{16}{12}=\frac43.$$

Oba wymiary liniowe mają ten sam stosunek, więc walce są podobne w skali $4:3$, gdy porównujemy pierwszy walec z drugim.

a)

Pole większego stożka stanowi $225\%$ pola mniejszego, zatem

$$\frac{P_w}{P_m}=2{,}25=\frac94.$$

Skala podobieństwa wymiarów liniowych wynosi

$$k=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$

Wysokość większego stożka jest więc równa

$$H=\frac32\cdot6=9\ \text{cm}.$$

b)

Niech $r$ i $l$ oznaczają promień i tworzącą pierwszego stożka. Z warunków $h=4$ oraz $P_c=24\pi$ otrzymujemy

$$l=\sqrt{r^2+16}, \qquad r\left(r+\sqrt{r^2+16}\right)=24.$$

Po przeniesieniu $r^2$ i podniesieniu stron do kwadratu:

$$r^2(r^2+16)=(24-r^2)^2,$$ $$64r^2=576, \qquad r=3, \qquad l=5.$$

Objętość pierwszego stożka wynosi

$$V_1=\frac13\pi\cdot3^2\cdot4=12\pi.$$

Gdyby stożki były podobne, tworząca $20$ dawałaby skalę $k=20:5=4$, a więc objętość drugiego stożka musiałaby wynosić

$$4^3V_1=64\cdot12\pi=768\pi.$$

Jest to różne od $1024\pi$, więc stożki nie są podobne.

Promień drugiej kuli jest dwa razy większy od promienia pierwszej, więc skala podobieństwa drugiej kuli do pierwszej wynosi $2$.

Objętości brył podobnych są w stosunku sześcianu skali:

$$V_2=2^3V_1=8\cdot36\pi=288\pi\ \text{cm}^3.$$

Pola powierzchni są w stosunku kwadratu skali, zatem

$$P_1:P_2=1^2:2^2=1:4.$$

Niech $H$ oznacza wysokość wyjściowego stożka. Podział liczony od podstawy ma stosunek $2:1$, więc wysokość odciętego górnego stożka jest równa $\frac13H$.

Mały stożek jest podobny do wyjściowego w skali $\frac13$. Jego objętość wynosi zatem

$$V_m=\left(\frac13\right)^3\cdot27\pi=\pi\ \text{cm}^3.$$

Pozostała bryła jest stożkiem ściętym o objętości

$$V_s=27\pi-\pi=26\pi\ \text{cm}^3.$$