MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 149

a) Niech sześcian ma krawędź $a$, a otrzymana kula promień $R$. Z zachowania objętości

$$a^3=\frac43\pi R^3, \qquad R=a\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}}.$$

Zatem

$$\frac{P_k}{P_s} =\frac{4\pi R^2}{6a^2} =\frac{2\pi}{3}\left(\frac{3}{4\pi}\right)^{2/3}.$$

Sześcian ostatniego wyrażenia jest równy $\frac\pi6$, więc stosunek wynosi $\sqrt[3]{\frac\pi6}$.

b) Jeśli walec ma promień $r$, to z kwadratowego przekroju osiowego wynika $h=2r$. Dla promienia $R$ otrzymanej kuli zachowanie objętości daje

$$2\pi r^3=\frac43\pi R^3,$$

czyli $R^3=\frac32r^3$ i $R=\sqrt[3]{\frac32}\,r$.

Niech $l$ i $h$ będą tworzącą i wysokością stożka. Z warunku

$$\frac{P_b}{P_p}=\frac{\pi rl}{\pi r^2}=2{,}6=\frac{13}{5}$$

wynika $l=\frac{13}{5}r$. Zatem

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\frac{12}{5}r,$$

a objętość stożka wynosi $\frac45\pi r^3$. Jeśli $R$ jest promieniem kuli o tej samej objętości, to

$$\frac43\pi R^3=\frac45\pi r^3.$$

Stąd $R^3=\frac35r^3$.

Niech $d=10$ będzie odległością środków. Płaszczyzna wspólnego okręgu jest prostopadła do prostej środków. Jej odległość $x$ od środka pierwszej sfery spełnia

$$x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}, \qquad \rho=\sqrt{r_1^2-x^2},$$

gdzie $\rho$ jest promieniem wspólnego okręgu.

a) $x=\frac{18}{5}$ i $\rho=\frac{24}{5}$, więc długość okręgu to $2\pi\rho=\frac{48}{5}\pi$ cm.

b) $x=-3$ i $\rho=3\sqrt3$, więc długość okręgu to $6\sqrt3\pi$ cm.

Odległość środków sfer jest równa $d=r_2$. Jak w przekroju osiowym dwóch sfer, odległość płaszczyzny wspólnego okręgu od środka pierwszej sfery wynosi

$$x=\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}=\frac{r_1^2}{2r_2},$$

a promień okręgu $\rho=\sqrt{r_1^2-x^2}$.

a) Dla $r_1=4$, $r_2=3$ mamy $x=\frac83$ i $\rho=\frac{4\sqrt5}{3}$.

b) Dla $r_1=6$, $r_2=2\sqrt3$ mamy $x=3\sqrt3$ i $\rho=3$.

Promień kuli wynosi $R=\frac72$. Odległości środka kuli od płaszczyzn przekrojów są równe

$$d_1=\sqrt{R^2-2^2}=\frac{\sqrt{33}}2, \qquad d_2=\sqrt{R^2-3^2}=\frac{\sqrt{13}}2.$$

Ponieważ płaszczyzny są prostopadłe, kwadrat odległości środka kuli od ich prostej przecięcia wynosi

$$d^2=d_1^2+d_2^2=\frac{23}{2}.$$

Połowa wspólnego odcinka ma więc długość

$$\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{46}{4}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Cały odcinek ma długość $\sqrt3$.

Płaszczyzna jest oddalona od środka o $3$ cm, więc wysokości dwóch odcinków kuli o promieniu $R=6$ cm wynoszą $h_1=R-3=3$ cm i $h_2=R+3=9$ cm. Korzystamy ze wzoru

$$V=\frac13\pi h^2(3R-h).$$

Otrzymujemy

$$V_1=\frac13\pi\cdot3^2(18-3)=45\pi\ \mathrm{cm}^3,$$ $$V_2=\frac13\pi\cdot9^2(18-9)=243\pi\ \mathrm{cm}^3.$$