MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 148

Niech $R$ będzie promieniem kuli, $d=|OO_1|$, a $r$ promieniem przekroju. W odpowiednim trójkącie prostokątnym $R^2=d^2+r^2$.

a) $\sin\alpha=\frac dR=\frac12$, więc $R=4\sqrt3$ cm.

b) $\operatorname{tg}\alpha=\frac dr=\frac34$, więc z $d=6$ cm otrzymujemy $r=8$ cm i $R=10$ cm.

c) $\cos\alpha=\frac rR=\frac23$. Z $(2\sqrt5)^2+(\frac23R)^2=R^2$ wynika $R=6$ cm.

W każdym przypadku stosujemy $P=4\pi R^2$ i $V=\frac43\pi R^3$.

Odległości płaszczyzn od środka kuli są równe

$$d_3=\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{55}, \qquad d_4=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt3.$$

Jeśli płaszczyzny leżą po tej samej stronie środka, ich odległość jest różnicą tych liczb. Jeśli leżą po przeciwnych stronach, odległość jest ich sumą.

a) Promień przekroju spełnia $\pi r^2=25\pi$, więc $r=5$. Promień kuli jest równy

$$R=\sqrt{r^2+|OS|^2}=\sqrt{25+2}=3\sqrt3.$$

Stąd $V=\frac43\pi R^3=108\sqrt3\pi$.

b) Z równania $\frac43\pi R^3=108\sqrt3\pi$ otrzymujemy $R=3\sqrt3$. Promień przekroju spełnia

$$r^2=R^2-|OS|^2=27-12=15,$$

więc jego pole jest równe $15\pi$.

a) Płaszczyzna styczna do kuli o promieniu $3$ jest oddalona od wspólnego środka o $3$ cm. Promień przekroju większej kuli wynosi $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm, więc pole przekroju jest równe $16\pi\ \mathrm{cm}^2$.

b) Promień koła przekroju wynosi $3$ cm. Gdy kula o promieniu $6$ jest większa, płaszczyzna jest oddalona od środka o $r$ i

$$r^2+3^2=6^2,$$

zatem $r=3\sqrt3$ cm. Gdy kula o promieniu $r$ jest większa, płaszczyzna jest styczna do kuli o promieniu $6$, więc $r^2=6^2+3^2$ i $r=3\sqrt5$ cm.

Pole powierzchni kuli wynosi $4\pi r^2$.

a) Promień rośnie z $20$ cm do $25$ cm, więc przyrost pola jest równy

$$4\pi(25^2-20^2)=4\pi\cdot225=900\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

b) Promień maleje z $20$ cm do $15$ cm, więc ubytek pola wynosi

$$4\pi(20^2-15^2)=4\pi\cdot175=700\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Wspólny promień podstawy oznaczmy przez $r$. Wysokości stożka i walca także wynoszą $r$. Objętości są równe

$$V_s=\frac13\pi r^3, \qquad V_p=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3, \qquad V_w=\pi r^3.$$

Różnice kolejnych wyrazów są jednakowe:

$$V_p-V_s=V_w-V_p=\frac13\pi r^3.$$

Zatem objętości stożka, półkuli i walca tworzą ciąg arytmetyczny.