MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 147

a) Odległość środka sześcianu od każdej ściany jest równa połowie krawędzi. Promień sfery stycznej do ścian wynosi zatem $\frac a2$.

b) Odległość środka sześcianu od wierzchołka jest połową przekątnej przestrzennej. Ponieważ przekątna ma długość $a\sqrt3$, szukany promień wynosi $\frac{a\sqrt3}{2}$.

Korzystamy ze wzorów $P=4\pi r^2$ oraz $V=\frac43\pi r^3$.

a) Dla $r=\frac32$ otrzymujemy $P=9\pi\ \mathrm{cm}^2$ i $V=\frac92\pi\ \mathrm{cm}^3$.

b) Dla $r=\sqrt3$ otrzymujemy $P=12\pi\ \mathrm{cm}^2$ i $V=4\sqrt3\pi\ \mathrm{cm}^3$.

c) Dla $r=2\sqrt2$ otrzymujemy $P=32\pi\ \mathrm{cm}^2$ i $V=\frac{64\sqrt2}{3}\pi\ \mathrm{cm}^3$.

Uzupełniamy kolumny ze wzorów $P=4\pi r^2$ i $V=\frac43\pi r^3$.

Dla $r=3$ mamy $V=36\pi$. Z $4\pi r^2=256\pi$ wynika $r=8$, a wtedy $V=\frac{2048}{3}\pi$. Z $\frac43\pi r^3=\frac{32}{3}\pi$ wynika $r=2$, a wtedy $P=16\pi$. W ostatniej kolumnie $4r^2=3{,}24$, więc $r=0{,}9$ i $V=0{,}972\pi$.

Objętości brył o podanych wymiarach wynoszą

$$V_k=\frac43\pi r^3, \qquad V_s=\frac13\pi r^2\cdot2r=\frac23\pi r^3,$$ $$V_w=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3.$$

Zatem

$$V_k+V_s=\left(\frac43+\frac23\right)\pi r^3 =2\pi r^3=V_w.$$

Równość została wykazana.