MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 145

Promień podstawy walca wynosi $6$, więc połowa obwodu podstawy ma długość $6\pi$. Po rozcięciu powierzchni bocznej wzdłuż tworzącej punkty leżące na przeciwległych tworzących dzieli poziomo odcinek $6\pi$. Ponieważ $|BC|=12$ i $|BE|=2|CE|$, mamy $|BE|=8$ oraz $|CE|=4$.

a) W rozwinięciu odległość od $E$ do $A$ jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $6\pi$ i $8$:

$$d_A=\sqrt{(6\pi)^2+8^2}=2\sqrt{9\pi^2+16}.$$

b) Analogicznie różnica wysokości między $E$ i $D$ wynosi $4$:

$$d_D=\sqrt{(6\pi)^2+4^2}=2\sqrt{9\pi^2+4}.$$

Tworząca stożka ma długość

$$l=\sqrt{8^2+(4\sqrt5)^2}=12.$$

Pełne rozwinięcie ma kąt $\frac{2\pi r}{l}=\frac{4\pi}{3}$. Generatory przechodzące przez przeciwległe punkty $A$ i $B$ dzieli na rozwinięciu kąt $\frac{\pi r}{l}=\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.

a) Oba punkty leżą w odległości $12$ od $S$, więc z twierdzenia cosinusów

$$|AB|^2=12^2+12^2-2\cdot12^2\cos120^\circ=432,$$

czyli $|AB|=12\sqrt3$.

b) Punkt $C$ jest środkiem tworzącej $BS$, zatem $SC=6$. W tym samym rozwinięciu

$$|AC|^2=12^2+6^2-2\cdot12\cdot6\cos120^\circ=252,$$

więc $|AC|=6\sqrt7$.