MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 144

W każdym podpunkcie obrót daje dwa stożki o wspólnym kole podstawy. Promień tego koła jest wysokością trójkąta opuszczoną na oś obrotu.

a) Promień wynosi $12$, a odcinki osi mają długości $\sqrt{13^2-12^2}=5$ i $\sqrt{15^2-12^2}=9$. Stąd

$$P_c=\pi\cdot12(13+15)=336\pi, \quad V=\frac13\pi\cdot12^2(5+9)=672\pi.$$

b) Rzut punktu $C$ na prostą $AB$ leży poza odcinkiem $AB$. Powstaje różnica dwóch stożków. Ich wspólny promień to $6\sin120^\circ=3\sqrt3$, wysokości wynoszą $9$ i $3$, a tworzące $6\sqrt3$ i $6$. Zatem

$$P_c=\pi\cdot3\sqrt3(6\sqrt3+6)=18\pi(3+\sqrt3),$$ $$V=\frac13\pi(3\sqrt3)^2(9-3)=54\pi.$$

c) Trójkąt o bokach $3$, $4$, $5$ jest prostokątny. Wysokość na przeciwprostokątną wynosi $r=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}$, a suma wysokości stożków jest równa $5$. Stąd

$$P_c=\pi\frac{12}{5}(3+4)=\frac{84}{5}\pi, \quad V=\frac13\pi\left(\frac{12}{5}\right)^2\!5=\frac{48}{5}\pi.$$

Pole trójkąta wynosi $\frac12\cdot10\cdot\sqrt{13^2-5^2}=60\ \mathrm{cm}^2$. Odległość przeciwległego wierzchołka od osi obrotu, czyli promień wspólnej podstawy dwóch powstałych stożków, jest więc równa

$$r=\frac{2\cdot60}{13}=\frac{120}{13}\ \mathrm{cm}.$$

Powierzchnia bryły składa się z powierzchni bocznych utworzonych przez obrót boków długości $13$ cm i $10$ cm. Zatem

$$P_c=\pi r(13+10) =\frac{2760}{13}\pi\ \mathrm{cm}^2.$$

Z $\pi r^2=16\pi$ otrzymujemy $r=4$ cm. Przekątne deltoidu mają długości $2r=8$ cm oraz $h_1+h_2$. Z jego pola

$$\frac12\cdot8(h_1+h_2)=60$$

wynika $h_1+h_2=15$ cm.

a) Suma objętości stożków jest równa

$$V=\frac13\pi r^2(h_1+h_2) =\frac13\pi\cdot16\cdot15=80\pi\ \mathrm{cm}^3.$$

b) Jeśli $h_1=2h_2$, to $h_1=10$ cm i $h_2=5$ cm. Tworzące mają długości $2\sqrt{29}$ cm i $\sqrt{41}$ cm, więc

$$P_c=\pi r(l_1+l_2)=4\pi(2\sqrt{29}+\sqrt{41})\ \mathrm{cm}^2.$$

Niech $r$ oznacza promień podstawy, $l$ tworzącą, a $\gamma$ kąt między tworzącą a wysokością. Mamy

$$\frac{P_p}{P_b}=\frac{\pi r^2}{\pi rl}=\frac rl.$$

W połówce przekroju osiowego bok $r$ leży naprzeciw kąta $\gamma$, a $l$ jest przeciwprostokątną. Zatem

$$\sin\gamma=\frac rl=\frac{P_p}{P_b}.$$

To dowodzi podanej równości.

a) Niech $M$ będzie środkiem cięciwy $AB$, a $O$ środkiem podstawy. Wtedy $OM\perp AB$ i

$$OM=\sqrt{12^2-(6\sqrt3)^2}=6.$$

Kąt nachylenia płaszczyzny $ABS$ do podstawy jest kątem $SMO$. Ponieważ $SO=2\sqrt3$, mamy

$$\operatorname{tg}\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\frac{\sqrt3}{3},$$

stąd $\angle SMO=30^\circ$.

b) Odległość środka koła opisanego na kwadracie od boku $AB$ wynosi $3$. Jeśli $M$ jest środkiem $AB$, to

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}.$$

Przekrój jest trójkątem $ABS$, więc

$$P=\frac12\cdot6\cdot\sqrt{58}=3\sqrt{58}.$$

Niech $AB$ będzie cięciwą podstawy należącą do płaszczyzny przekroju, a $M$ jej środkiem. Kąt $SMO$ jest kątem nachylenia płaszczyzn. Zatem

$$\operatorname{tg}60^\circ=\frac{SO}{OM} =\frac{6\sqrt3}{OM},$$

więc $OM=6$ cm. Połowa cięciwy ma długość $AM=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm, czyli $AB=16$ cm. Ponadto

$$SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{108+36}=12\ \mathrm{cm}.$$

Pole trójkątnego przekroju wynosi $\frac12\cdot16\cdot12=96\ \mathrm{cm}^2$.

Objętość stożka ściętego o promieniach podstaw $R$, $r$ i wysokości $h$ jest równa

$$V=\frac13\pi h(R^2+Rr+r^2).$$

a) Dla $R=6$, $r=4$, $h=5$ otrzymujemy

$$V=\frac53\pi(36+24+16)=\frac{380}{3}\pi.$$

b) Kąt rozwarcia pełnego stożka ma $90^\circ$, więc jego wysokość jest równa promieniowi podstawy: $12$. Z podobieństwa mniejszy stożek ma wysokość $9$, zatem wysokość stożka ściętego wynosi $3$. Stąd

$$V=\frac13\pi\cdot3(12^2+12\cdot9+9^2)=333\pi.$$