MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 13

Liczba jest parzysta wtedy, gdy trzeci rzut daje $2$, $4$ albo $6$. Dwa pierwsze rzuty mają po $6$ wyników, więc liczb parzystych jest $6\cdot6\cdot3=108$.

Liczba jest większa od $500$, gdy pierwszy rzut daje $5$ albo $6$. Pozostałe dwa rzuty są dowolne, zatem takich liczb jest $2\cdot6\cdot6=72$.

a) Pierwszą cyfrę wybieramy spośród $1,3,5,7,9$ na $5$ sposobów. Każda z trzech pozostałych cyfr jest jedną z $0,2,4,6,8$, więc liczb jest $5\cdot5^3=625$.

b) Pierwsza cyfra musi być parzysta i niezerowa, zatem ma $4$ możliwości. Druga ma $5$ możliwości parzystych, a każda z dwóch ostatnich po $5$ możliwości nieparzystych. Otrzymujemy $4\cdot5^3=500$.

a) Wspólna pierwsza i ostatnia cyfra ma $9$ możliwości, bo nie może być zerem. Cztery środkowe cyfry są dowolne, stąd $9\cdot10^4=90\,000$.

b) Pierwsza para jednakowych cyfr ma $9$ możliwości, dwie środkowe cyfry po $10$, a ostatnia para jednakowych cyfr ma $10$ możliwości. Zatem $9\cdot10^2\cdot10=9000$.

Pierwsze dwie cyfry można wybrać odpowiednio na $9$ i $10$ sposobów.

a) Jeśli cyfra jedności ma jedną z wartości $0,1,2,3,4,5$, to cyfra dziesiątek jest odpowiednio równa $4,5,6,7,8,9$. Daje to $6$ par, czyli $9\cdot10\cdot6=540$ liczb.

b) Cyfra jedności może być jedną z liczb $2,3,4,5,6,7,8,9$, a cyfra dziesiątek jest wtedy wyznaczona. Daje to $8$ par, czyli $9\cdot10\cdot8=720$ liczb.

a) Trzycyfrowe wielokrotności $5$ tworzą ciąg $100,105,\ldots,995$. Jest ich

$$\frac{995-100}{5}+1=180<200.$$

b) Pierwsza cyfra ma $5$ możliwości: $1,2,3,4,5$. Każda z trzech środkowych ma $6$ możliwości, a ostatnia musi być równa $0$ albo $5$. Takich liczb jest więc

$$5\cdot6^3\cdot2=2160>2000.$$

a) W każdym rzucie niezależnie otrzymujemy orła $o$ albo reszkę $r$. Możliwe trójki to

$$ooo,\ oor,\ oro,\ orr,\ roo,\ ror,\ rro,\ rrr.$$

b) Dla $n$ rzutów każda z $n$ pozycji ma dwie możliwości, zatem wyników jest $2^n$. Dla pięciu rzutów daje to $2^5=32$, a dla dziesięciu $2^{10}=1024$.

a) Ponieważ kulę zwracamy, z każdej gałęzi oznaczonej $1$, $2$ lub $3$ wychodzą w kolejnym losowaniu ponownie trzy takie gałęzie. Drzewo ma $3^3=27$ liści, opisanych wszystkimi liczbami $abc$, gdzie $a,b,c\in\{1,2,3\}$.

b) Liczba jest parzysta tylko wtedy, gdy ostatnie losowanie daje $2$. Dwa pierwsze wyniki są dowolne, więc takich liczb jest $3^2=9$.

c) Podzielność przez $6$ wymaga ostatniej cyfry $2$ oraz sumy cyfr podzielnej przez $3$. Pary pierwszych cyfr spełniające ten warunek to $(1,3)$, $(2,2)$ i $(3,1)$, zatem liczby to $132$, $222$ i $312$.