MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 129

Niech krawędź czworościanu będzie równa $a$, a krawędź ośmiościanu $b$. Ich pola powierzchni wynoszą

$P_4=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3,$

$P_8=8\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4}=2b^2\sqrt3.$

Z warunku $P_4=2P_8$ mamy $a^2\sqrt3=4b^2\sqrt3$, czyli $a=2b$.

Objętości wielościanów foremnych są równe

$V_4=\frac{a^3\sqrt2}{12}, \qquad V_8=\frac{b^3\sqrt2}{3}.$

Zatem

$V_4:V_8=\frac{a^3}{12}:\frac{b^3}{3} =a^3:4b^3=8:4=2:1.$

Umieśćmy środek ośmiościanu w początku układu. Jego wierzchołki możemy zapisać jako

$(\pm r,0,0),\quad(0,\pm r,0),\quad(0,0,\pm r).$

Odległość dwóch sąsiednich wierzchołków wynosi $r\sqrt2=4$, więc $r=2\sqrt2$.

Środek ciężkości ściany w pierwszym oktancie ma współrzędne

$\left(\frac r3,\frac r3,\frac r3\right).$

Wierzchołek sąsiedniej ściany wewnętrznego sześcianu różni się znakiem jednej współrzędnej, zatem jego krawędź ma długość

$x=\frac{2r}{3}=\frac{4\sqrt2}{3}\ \text{cm}.$

Objętość sześcianu wynosi

$V=x^3=\left(\frac{4\sqrt2}{3}\right)^3 =\frac{128\sqrt2}{27}\ \text{cm}^3.$

a) W czworościanie każda para ścian ma wspólną krawędź, więc wszystkie cztery ściany muszą mieć różne kolory. Potrzeba $4$ kolorów.

b) W sześcianie ściany można pogrupować w trzy pary ścian przeciwległych. Każdą parę malujemy jednym kolorem. Trzy kolory wystarczają, a przy każdym wierzchołku spotykają się trzy parami sąsiednie ściany, więc mniej niż trzy kolory nie wystarczy.

c) Ściany ośmiościanu można pomalować naprzemiennie dwoma kolorami: każda ściana ma wspólne krawędzie wyłącznie ze ścianami drugiego koloru. Jeden kolor oczywiście nie wystarczy.

Minimalne liczby kolorów to odpowiednio $4$, $3$ i $2$.

Po sklejeniu dwóch czworościanów podstawami wspólne podstawy znajdują się wewnątrz bryły. Na zewnątrz pozostają po trzy trójkątne ściany z każdego czworościanu, czyli łącznie sześć trójkątów równobocznych. Otrzymana bryła jest dwupiramidą trójkątną.

Nie jest ona wielościanem foremnym. W każdym z dwóch wierzchołków leżących poza wspólną podstawą spotykają się po trzy ściany, natomiast w każdym z trzech wierzchołków wspólnej podstawy spotykają się po cztery ściany. Nie jest więc spełniony warunek jednakowej liczby ścian zbiegających się w każdym wierzchołku.