MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 130

Niech $x$ oznacza odległość punktu cięcia od narożnika pierwotnego sześcianu, mierzona wzdłuż jego krawędzi. Krawędź nowej trójkątnej ściany ma długość $x\sqrt2$. Ponieważ jest równa $1$, mamy

$x\sqrt2=1,\qquad x=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{cm}.$

Krawędź pierwotnego sześcianu składa się z dwóch odcinków długości $x$ i pozostawionego odcinka długości $1$, więc

$L=1+2x=1+\sqrt2.$

Od każdego narożnika odcięto ostrosłup prostokątny o trzech wzajemnie prostopadłych krawędziach długości $x$. Jego objętość wynosi

$V_o=\frac{x^3}{6} =\frac{1}{6}\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 =\frac{\sqrt2}{24}.$

Objętość sześcianu ściętego:

$V=L^3-8V_o =(1+\sqrt2)^3-\frac{\sqrt2}{3}.$

Ponieważ $(1+\sqrt2)^3=7+5\sqrt2$, otrzymujemy

$V=7+\frac{14\sqrt2}{3} =7\left(1+\frac{2\sqrt2}{3}\right)\ \text{cm}^3.$

Niech $x$ oznacza długość odcinka odcinanego przy każdym końcu pierwotnej krawędzi sześcianu, a $e$ — krawędź sześcianu ściętego.

Na trójkątnej ścianie powstałej przez odcięcie narożnika mamy

$e=x\sqrt2.$

Na każdej pierwotnej krawędzi pozostaje natomiast odcinek

$e=3-2x.$

Podstawiamy $x=\frac{e}{\sqrt2}$:

$e=3-\sqrt2e,$

$e(1+\sqrt2)=3.$

Zatem

$e=\frac{3}{1+\sqrt2} =3(\sqrt2-1)\ \text{cm}.$