MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 128

Uzupełniona tabela ma postać:

Sprawdzamy wzór Eulera:

$4-6+4=2,\qquad 6-12+8=2,$

$8-12+6=2,\qquad 12-30+20=2,\qquad 20-30+12=2.$

Dla każdego z pięciu wielościanów wzór $s-k+w=2$ jest spełniony.

Ośmiościan ma osiem ścian będących trójkątami równobocznymi o boku $4$. Zatem

$P_c=8\cdot\frac{4^2\sqrt3}{4} =32\sqrt3\ \text{cm}^2.$

Ośmiościan można podzielić na dwa przystające ostrosłupy prawidłowe czworokątne. Ich wspólna podstawa ma bok $4$, a wysokość każdego ostrosłupa wynosi $\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2$. Stąd

$V=2\cdot\frac13\cdot4^2\cdot2\sqrt2 =\frac{64\sqrt2}{3}\ \text{cm}^3.$

Odległość między środkami dwóch sąsiednich ścian sześcianu jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych długości $4$ i $4$. Krawędź otrzymanego ośmiościanu ma więc długość

$a=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\ \text{cm}.$

Pole powierzchni:

$P_c=8\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4} =8\cdot\frac{32\sqrt3}{4} =64\sqrt3\ \text{cm}^2.$

Ośmiościan składa się z dwóch ostrosłupów o wspólnej kwadratowej podstawie. Przekątna tej podstawy ma długość $8$, więc jej bok to $4\sqrt2$, pole $32$, a wysokość każdego z ostrosłupów wynosi $4$. Zatem

$V=2\cdot\frac13\cdot32\cdot4 =\frac{256}{3}=85\frac13\ \text{cm}^3.$

Niech krawędź ośmiościanu ma długość $a$. Rozważany romb ma jedną przekątną łączącą dwa przeciwległe wierzchołki ośmiościanu, długości $a\sqrt2$. Druga łączy środki dwóch przeciwległych krawędzi i ma długość $a$.

Pole rombu jest więc równe

$P=\frac12\cdot a\sqrt2\cdot a =\frac{a^2\sqrt2}{2}.$

Z warunku

$\frac{a^2\sqrt2}{2}=18\sqrt2$

otrzymujemy $a^2=36$, czyli $a=6$ cm. Ośmiościan ma $12$ krawędzi, zatem suma ich długości wynosi

$12\cdot6=72\ \text{cm}.$