MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 124

Wszystkie krawędzie boczne mają długość $6$ cm. Wysokość ściany bocznej, będącej trójkątem równobocznym, ma długość $3\sqrt3$ cm.

a) W trójkącie prostokątnym $SOF$ mamy $SF=3\sqrt3$ i $OF=3$, zatem

$SO=\sqrt{(3\sqrt3)^2-3^2}=3\sqrt2.$

Przekrój $ESF$ ma podstawę $EF=6$, więc

$P_a=\frac12\cdot6\cdot3\sqrt2=9\sqrt2\ \text{cm}^2.$

b) Punkt $G$ jest środkiem krawędzi bocznej. Odcinki $BG$ i $DG$ są wysokościami trójkątów równobocznych, więc mają długość $3\sqrt3$. Ponieważ $DB=6\sqrt2$, wysokość trójkąta $DBG$ wynosi

$h=\sqrt{(3\sqrt3)^2-(3\sqrt2)^2}=3.$

Zatem

$P_b=\frac12\cdot6\sqrt2\cdot3=9\sqrt2\ \text{cm}^2.$

c) Przekrój $BCIH$ jest trapezem o podstawach $BC=6$ i $IH=3$. Odcinek $BI$ jest wysokością trójkąta równobocznego, więc $BI=3\sqrt3$. Połowa różnicy podstaw trapezu ma długość $\frac32$, zatem wysokość trapezu jest równa

$h=\sqrt{(3\sqrt3)^2-\left(\frac32\right)^2} =\frac{3\sqrt{11}}{2}.$

Wobec tego

$P_c=\frac{6+3}{2}\cdot\frac{3\sqrt{11}}{2} =\frac{27\sqrt{11}}{4}\ \text{cm}^2.$

Oznaczmy podstawę przez $ABC$, wierzchołek przez $S$, a przez $M$ środek boku $BC$. Pole podstawy jest trójkątem równobocznym o boku $6$, a wszystkie krawędzie boczne mają długość $12$.

a) Płaszczyzna zawierająca wysokość $AM$ podstawy i krawędź $AS$ daje przekrój $AMS$. Mamy

$AM=3\sqrt3.$

Rzut punktu $S$ na podstawę jest środkiem $O$ trójkąta, więc $AO=2\sqrt3$. Wysokość ostrosłupa:

$SO=\sqrt{AS^2-AO^2} =\sqrt{12^2-(2\sqrt3)^2}=2\sqrt{33}.$

Ponieważ $SO\perp AM$,

$P_a=\frac12\cdot AM\cdot SO =\frac12\cdot3\sqrt3\cdot2\sqrt{33} =9\sqrt{11}\ \text{cm}^2.$

b) Niech $Q$ będzie środkiem krawędzi $CS$. Przekrojem jest trójkąt $ABQ$. Rzut $Q'$ punktu $Q$ na podstawę jest środkiem odcinka $CO$. Odległość $C$ od $AB$ wynosi $3\sqrt3$, a odległość $O$ od $AB$ wynosi $\sqrt3$, zatem odległość $Q'$ od $AB$ jest równa $2\sqrt3$. Ponadto $QQ'=\frac12SO=\sqrt{33}$. Wysokość trójkąta $ABQ$ wynosi więc

$h=\sqrt{(2\sqrt3)^2+(\sqrt{33})^2} =3\sqrt5.$

Stąd

$P_b=\frac12\cdot6\cdot3\sqrt5 =9\sqrt5\ \text{cm}^2.$