MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 123

Rzut przekroju na dolną podstawę jest trapezem. Jego równoległe boki mają długości $a$ i $\frac a2$, a wysokość jest połową wysokości trójkąta równobocznego, czyli $\frac{a\sqrt3}{4}$. Pole rzutu wynosi zatem

$P_r=\frac{a+\frac a2}{2}\cdot\frac{a\sqrt3}{4} =\frac{3\sqrt3}{16}a^2.$

Pole samego przekroju jest równe $a^2$. Dla kąta $\alpha$ między płaszczyzną przekroju a podstawą zachodzi $P_r=P\cos\alpha$, więc

$\cos\alpha=\frac{P_r}{P} =\frac{\frac{3\sqrt3}{16}a^2}{a^2} =\frac{3\sqrt3}{16}.$

Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $H$. Rzut przekroju na podstawę jest trójkątem stanowiącym połowę trójkąta równobocznego o boku $a$, więc

$P_r=\frac12\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4} =\frac{a^2\sqrt3}{8}.$

Ponieważ pole przekroju jest równe $S$,

$\cos\alpha=\frac{P_r}{S} =\frac{a^2\sqrt3}{8S}.$

Przyjmijmy, że przekrój ma wierzchołki $A$, $B_1$ i $M$, gdzie $M$ jest środkiem odpowiedniej krawędzi podstawy. Z iloczynu wektorowego (albo z rozłożenia pola na składową poziomą i pionową) otrzymujemy

$S^2=\frac{3a^2}{64}\left(a^2+4H^2\right).$

Stąd

$H=\frac{1}{2a\sqrt3}\sqrt{64S^2-3a^4}.$

Pole podstawy jest równe $\frac{a^2\sqrt3}{4}$, zatem

$V=\frac{a^2\sqrt3}{4}H =\frac a8\sqrt{64S^2-3a^4}.$

Przekrój jest trójkątem $FDE_1$. Jego rzutem na podstawę jest trójkąt $FDE$. W sześciokącie foremnym $FE=ED=a$ i $\angle FED=120^\circ$, więc

$P_{FDE}=\frac12a^2\sin120^\circ =\frac{a^2\sqrt3}{4}.$

Zatem

$\cos\alpha=\frac{P_{FDE}}{S} =\frac{a^2\sqrt3}{4S}.$

Odcinek $FD$ ma długość $a\sqrt3$, a odległość punktu $E$ od prostej $FD$ jest równa $\frac a2$. Jeśli wysokość graniastosłupa oznaczymy przez $H$, to wysokość trójkąta $FDE_1$ opuszczona na $FD$ ma długość $\sqrt{H^2+\frac{a^2}{4}}$. Stąd

$S=\frac12a\sqrt3\sqrt{H^2+\frac{a^2}{4}},$

czyli

$H=\frac{1}{2a\sqrt3}\sqrt{16S^2-3a^4}.$

Pole sześciokątnej podstawy wynosi $\frac{3\sqrt3}{2}a^2$, więc

$V=\frac{3\sqrt3}{2}a^2H =\frac{3a}{4}\sqrt{16S^2-3a^4}.$