MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 125

Niech $O$ będzie środkiem podstawy, $S$ wierzchołkiem ostrosłupa, a $H=SO$. Przekrój prostopadły do podstawy i zawierający przekątną ma podstawę $5\sqrt2$ i wysokość $H$. Zatem

$\frac12\cdot5\sqrt2\cdot H=25,$

stąd $H=5\sqrt2$.

Rozważmy krawędź boczną $BS$ rozłączną z przekątną $AC$. W trójkącie prostokątnym $BOS$:

$OB=\frac{5\sqrt2}{2},\qquad OS=5\sqrt2,$

$BS=\sqrt{OB^2+OS^2}=\frac{5\sqrt{10}}{2}.$

Szukana płaszczyzna przecina $BS$ w punkcie $P$ i jest do tej krawędzi prostopadła. Odcinek $OP$ jest więc wysokością trójkąta prostokątnego $BOS$ opuszczoną na przeciwprostokątną:

$OP=\frac{OB\cdot OS}{BS} =\frac{\frac{5\sqrt2}{2}\cdot5\sqrt2}{\frac{5\sqrt{10}}{2}} =\sqrt{10}.$

Przekrój $ACP$ ma podstawę $AC=5\sqrt2$ i wysokość $OP$, więc

$P_{ACP}=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot\sqrt{10} =5\sqrt5\ \text{cm}^2.$

Oznaczmy czworościan foremny przez $ABCS$, a przez $M$ środek krawędzi $CS$. Rozważane płaszczyzny mają wspólną krawędź $AB$. Niech $N$ będzie środkiem $AB$. Odcinki $CN$ i $MN$ są prostopadłe do $AB$, więc kąt między nimi jest szukanym kątem $\alpha$.

Niech długość krawędzi czworościanu będzie równa $a$, a $O$ będzie środkiem podstawy $ABC$. Mamy

$SO=\frac{a\sqrt6}{3}.$

Punkt $M$ jest środkiem $CS$, zatem jego wysokość nad podstawą wynosi $\frac{a\sqrt6}{6}$. Rzut $M'$ punktu $M$ na podstawę jest środkiem $CO$. Odległości punktów $C$ i $O$ od prostej $AB$ wynoszą odpowiednio $\frac{a\sqrt3}{2}$ i $\frac{a\sqrt3}{6}$, więc

$NM'=\frac12\left(\frac{a\sqrt3}{2}+\frac{a\sqrt3}{6}\right) =\frac{a\sqrt3}{3}.$

Stąd

$NM=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2+ \left(\frac{a\sqrt6}{6}\right)^2} =\frac{a}{\sqrt2}.$

Zatem

$\sin\alpha=\frac{MM'}{MN} =\frac{a\sqrt6/6}{a/\sqrt2} =\frac{\sqrt3}{3}.$

Niech długość krawędzi czworościanu będzie równa $a$. Rozważany przekrój zawiera krawędź boczną $AS$ i wysokość $AM$ podstawy, gdzie $M$ jest środkiem $BC$. Rzut wierzchołka $S$ na podstawę leży na $AM$, więc wysokość czworościanu jest zarazem wysokością trójkąta przekroju opuszczoną na $AM$.

Mamy

$AM=\frac{a\sqrt3}{2}, \qquad H=\frac{a\sqrt6}{3}.$

Pole przekroju wynosi więc

$P=\frac12\cdot AM\cdot H =\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\frac{a\sqrt6}{3} =\frac{a^2\sqrt2}{4}.$

Z warunku $\frac{a^2\sqrt2}{4}=4\sqrt2$ otrzymujemy $a^2=16$, czyli $a=4$ cm. Objętość czworościanu foremnego:

$V=\frac{a^3\sqrt2}{12} =\frac{64\sqrt2}{12} =\frac{16\sqrt2}{3}\ \text{cm}^3.$