MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 122

Każdy bok przekroju łączy środki dwóch sąsiednich krawędzi jednej ściany sześcianu. Jest więc przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\frac a2$ i $\frac a2$. Wszystkie boki mają zatem długość

$b=\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2} =\frac{a\sqrt2}{2}.$

W każdym wierzchołku przekroju powstaje kąt $120^\circ$ (kąt między odpowiednimi odcinkami środkowymi na dwóch prostopadłych ścianach). Sześciokąt jest więc równoboczny i równokątny, czyli foremny.

Dzielimy go na sześć trójkątów równobocznych o boku $b$:

$P=6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4} =6\cdot\frac{\frac{a^2}{2}\sqrt3}{4} =\frac{3\sqrt3}{4}a^2.$

Rzut prostokątny przekroju na podstawę jest trójkątem stanowiącym połowę kwadratu o boku $6$, więc ma pole

$P_r=\frac12\cdot6^2=18.$

Jeżeli płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą kąt $\alpha$, to $P_r=P\cos\alpha$. Stąd

$P=\frac{18}{\cos\alpha}.$

Zatem:

$\text{a) }P=\frac{18}{\cos30^\circ} =\frac{18}{\frac{\sqrt3}{2}}=12\sqrt3,$

$\text{b) }P=\frac{18}{\cos45^\circ} =\frac{18}{\frac{\sqrt2}{2}}=18\sqrt2.$

Przyjmijmy w podstawie współrzędne

$A=(0,0,0),\quad B=(4,0,0),\quad C=(4,4,0),\quad D=(0,4,0),$

zatem $P=(2,0,0)$, $Q=(0,2,0)$ i $C_1=(4,4,4)$. Równanie płaszczyzny przez te trzy punkty ma postać

$2x+2y-3z=4.$

Wektor normalny to $(2,2,-3)$, a normalna podstawy ma kierunek $(0,0,1)$. Cosinus kąta między płaszczyznami jest więc równy

$\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{2^2+2^2+3^2}} =\frac{3}{\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{17}.$

Rzut przekroju na podstawę jest pięciokątem otrzymanym z kwadratu o polu $16$ przez odcięcie przy wierzchołku $A$ trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $2$:

$P_r=16-\frac12\cdot2\cdot2=14.$

Ponieważ $P_r=P\cos\alpha$, mamy

$P=\frac{14}{3/\sqrt{17}}=\frac{14\sqrt{17}}{3}.$

Pole podstawy jest równe $a^2=32$, więc $a=4\sqrt2$, a przekątna podstawy ma długość

$d=a\sqrt2=8.$

Przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie $d$. Jeśli długość każdego ramienia oznaczymy przez $l$, to z twierdzenia cosinusów i warunku $\cos\alpha=\frac13$:

$d^2=l^2+l^2-2l^2\cos\alpha =2l^2\left(1-\frac13\right)=\frac43l^2.$

Stąd $l^2=\frac34d^2=48$. Rzut każdego ramienia na podstawę jest krawędzią kwadratu długości $a$, zatem dla wysokości $H$ graniastosłupa:

$l^2=a^2+H^2, \qquad 48=32+H^2,$

czyli $H=4$ cm. Objętość wynosi

$V=32\cdot4=128\ \text{cm}^3.$

Przekrój jest trapezem. Jego podstawami są przekątna dolnego kwadratu długości $a\sqrt2$ oraz odcinek łączący środki dwóch sąsiednich krawędzi górnego kwadratu, długości $\frac{a\sqrt2}{2}$.

Rzut tego trapezu na dolną podstawę ma wysokość równą odległości między tymi równoległymi odcinkami, czyli $\frac{a\sqrt2}{4}$. Jego pole jest zatem równe

$P_r=\frac{a\sqrt2+\frac{a\sqrt2}{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt2}{4} =\frac{3a^2}{8}.$

Płaszczyzna przekroju jest nachylona pod kątem $45^\circ$, więc

$P=\frac{P_r}{\cos45^\circ} =\frac{3a^2/8}{\sqrt2/2} =\frac{3\sqrt2}{8}a^2.$

W przekroju prostopadłym do równoległych podstaw trapezu mamy

$\tan45^\circ=\frac{H}{a\sqrt2/4},$

stąd $H=\frac{a\sqrt2}{4}$. Objętość graniastosłupa:

$V=a^2H=\frac{\sqrt2}{4}a^3.$

Przekątna prostokątnej podstawy ma długość

$d=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \text{cm}.$

Rzut przekroju na podstawę jest połową prostokąta, więc ma pole $24\ \text{cm}^2$. Jeśli $\alpha$ oznacza kąt przekroju z podstawą, to

$25\cos\alpha=24, \qquad \cos\alpha=\frac{24}{25}.$

Wysokość trójkątnego przekroju opuszczona na przekątną ma długość

$l=\frac{2\cdot25}{10}=5\ \text{cm}.$

Jej rzut na podstawę jest wysokością trójkąta o podstawie $10$ i polu $24$, czyli ma długość $\frac{2\cdot24}{10}=\frac{24}{5}$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$H=\sqrt{5^2-\left(\frac{24}{5}\right)^2} =\frac75\ \text{cm}.$

Zatem

$V=6\cdot8\cdot\frac75=\frac{336}{5}=67{,}2\ \text{cm}^3.$

Ustawmy początek układu współrzędnych w punkcie $C$, a osie poprowadźmy wzdłuż trzech prostopadłych krawędzi wychodzących z $C$. Środki tych krawędzi mają współrzędne

$(3,0,0),\quad(0,3,0),\quad(0,0,3),$

więc płaszczyzna przekroju ma równanie

$x+y+z=3.$

Przekątna $CA_1$ ma parametryzację $(t,t,t)$. W punkcie przecięcia $P$ zachodzi $3t=3$, zatem $t=1$ i $P=(1,1,1)$. Stąd

$|PC|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3\ \text{cm}.$