MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 121

Przekątna podstawy ma długość

$$d=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \text{cm}.$$

Rzut przekroju na podstawę jest trójkątem stanowiącym połowę prostokąta, więc ma pole $30$ cm$^2$. Jeśli $\alpha$ oznacza kąt nachylenia przekroju, to

$$\cos\alpha=\frac{30}{84{,}5}=\frac{60}{169}.$$

Wysokość trójkąta w podstawie opuszczona na przekątną ma długość

$$x=\frac{2\cdot30}{13}=\frac{60}{13}\ \text{cm}.$$

Jej odpowiednik w przekroju ma długość

$$l=\frac{x}{\cos\alpha} =\frac{60/13}{60/169}=13\ \text{cm}.$$

Jeśli $h$ jest wysokością prostopadłościanu, to

$$h=\sqrt{l^2-x^2} =\sqrt{169-\frac{3600}{169}} =\frac{\sqrt{24961}}{13}\ \text{cm}.$$

Zatem

$$V=5\cdot12\cdot h =\frac{60\sqrt{24961}}{13}\ \text{cm}^3.$$

Niech $h$ będzie wysokością graniastosłupa. Rzut trójkątnego przekroju na podstawę jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych $a/2$, więc ma pole

$$P_r=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=\frac{a^2}{8}.$$

Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia przekroju do podstawy, to $P_r=P\cos\alpha$.

a) Dla $P=\frac{\sqrt2a^2}{8}$ mamy $\cos\alpha=\frac1{\sqrt2}$, zatem $\alpha=45^\circ$.

b) Dla $P=\frac{\sqrt3a^2}{12}$ otrzymujemy

$$\cos\alpha=\frac{a^2/8}{\sqrt3a^2/12}=\frac{\sqrt3}{2},$$

czyli $\alpha=30^\circ$.

Prosta przecięcia płaszczyzny przekroju z podstawą łączy środki dwóch sąsiednich krawędzi. Odległość wspólnego wierzchołka tych krawędzi od tej prostej wynosi $\frac{a}{2\sqrt2}$, a pionowa odległość do środka krawędzi bocznej jest równa $h/2$. Stąd

$$\tan\alpha=\frac{h/2}{a/(2\sqrt2)}, \qquad h=\frac{a\tan\alpha}{\sqrt2}.$$

Wobec tego w podpunkcie a) $h=\frac a{\sqrt2}$ i $V=\frac{a^3\sqrt2}{2}$, a w podpunkcie b) $h=\frac a{\sqrt6}$ i $V=\frac{a^3\sqrt6}{6}$.

Po odpowiednim oznaczeniu wierzchołków przyjmijmy, że podstawa ma bok $a$, a wierzchołki przekroju mają współrzędne

$$A=(0,0,0),\quad P=(a,0,t),\quad Q=(0,a,t),\quad R=(a,a,2t).$$

Równość wysokości punktów $P$ i $Q$ wynika z tego, że przekrój jest rombem. Oznaczmy $k=t/a$. Wektory dwóch boków rombu wychodzących z $A$ to $(a,0,t)$ i $(0,a,t)$, zatem

$$\cos2\alpha=\frac{t^2}{a^2+t^2}=\frac{k^2}{1+k^2}.$$

Równanie płaszczyzny przekroju ma postać $z=k(x+y)$. Jej wektor normalny to $(-k,-k,1)$, więc dla kąta nachylenia $\varphi$ do podstawy

$$\cos\varphi=\frac1{\sqrt{1+2k^2}}.$$

Z wzoru na tangens połowy kąta

$$\tan^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} =\frac1{1+2k^2}.$$

Oba kąty są ostre, dlatego $\cos\varphi=\tan\alpha$.