MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 120

Oznaczmy krawędź sześcianu przez $a=6$ cm.

a) Przyjmijmy punkt $C$ za początek układu, a trzy wychodzące z niego krawędzie za osie. Wtedy

$$E=\left(\frac a2,0,0\right),\quad F=\left(0,\frac a2,0\right),\quad C_1=(0,0,a).$$

Pole trójkąta $EFC_1$ jest połową długości iloczynu wektorowego $\overrightarrow{EF}$ i $\overrightarrow{EC_1}$, czyli

$$P=\frac{3a^2}{8}=\frac{3\cdot36}{8}=13{,}5\ \text{cm}^2.$$

b) Czworokąt $AGC_1H$ jest równoległobokiem. W układzie o początku w $A$ jego dwa boki mają wektory

$$\overrightarrow{AG}=\left(0,a,\frac a2\right),\qquad \overrightarrow{AH}=\left(a,0,\frac a2\right).$$

Ich iloczyn wektorowy ma długość $\frac{a^2\sqrt6}{2}$, zatem

$$P=\frac{36\sqrt6}{2}=18\sqrt6\ \text{cm}^2.$$

c) Rzut przekroju na podstawę jest pasem w trójkącie $DBC$. Wysokość tego trójkąta opuszczona z $C$ na $DB$ wynosi $3\sqrt2$, natomiast szerokość pasa jest równa

$$w=\frac a{\tan60^\circ}=2\sqrt3.$$

Podstawa trójkąta ma długość $6\sqrt2$. Pole pasa, otrzymane jako pole trapezu o szerokości $w$, wynosi

$$P_r=6\sqrt2\,w-w^2=12\sqrt6-12=12(\sqrt6-1).$$

Ponieważ $P_r=P\cos60^\circ$, pole przekroju jest równe

$$P=2P_r=24(\sqrt6-1)\ \text{cm}^2.$$

Rzut prostokątny przekroju na dolną podstawę jest trójkątem stanowiącym połowę kwadratu o boku $4$, więc ma pole

$$P_r=\frac12\cdot4^2=8.$$

Jeśli $\alpha$ jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy, to pole rzutu spełnia zależność

$$P_r=P\cos\alpha.$$

Z danych $P=16$, zatem

$$8=16\cos\alpha,qquad \cos\alpha=\frac12.$$

Ponieważ $0^\circ<\alpha<90^\circ$, otrzymujemy $\alpha=60^\circ$.