MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 119

Przekrój ma jeden bok równy krawędzi sześcianu $a$. Jego drugi wymiar wyznaczamy w przekroju prostopadłym do krawędzi, przez którą przechodzi płaszczyzna.

a) Skoro $\cos\alpha=\frac45>\cos45^\circ$, to $\alpha<45^\circ$. Płaszczyzna dochodzi więc do przeciwległej ściany bocznej, zanim osiągnie górną podstawę. Drugi bok przekroju ma długość $\frac a{\cos\alpha}$, zatem

$$P=a\cdot\frac a{\cos\alpha}=\frac54a^2.$$

b) Teraz $\alpha>45^\circ$, więc płaszczyzna najpierw osiąga górną podstawę. Drugi bok przekroju ma długość $\frac a{\sin\alpha}$. Ponieważ

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{25}}=\frac{2\sqrt6}{5},$$

otrzymujemy

$$P=a\cdot\frac a{\sin\alpha}=\frac{5\sqrt6}{12}a^2.$$

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Punkty $P$, $Q$, $R$ leżą w odległości $a/2$ od $C$ na trzech wzajemnie prostopadłych krawędziach. Każdy bok trójkąta $PQR$ ma zatem długość

$$\sqrt{\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2} =\frac a{\sqrt2}.$$

Przekrój jest trójkątem równobocznym o polu

$$P_{PQR}=\frac{\sqrt3}{4}\left(\frac a{\sqrt2}\right)^2 =\frac{a^2\sqrt3}{8}.$$

a) Dla $a=12$ otrzymujemy $P_{PQR}=18\sqrt3$.

b) Z $a\sqrt3=2\sqrt6$ wynika $a=2\sqrt2$, więc $P_{PQR}=\sqrt3$.

Rzut prostokątny przekroju na podstawę jest trójkątem stanowiącym połowę kwadratu, więc ma pole $\frac{a^2}{2}$. Jeśli $P$ jest polem przekroju, to pole jego rzutu wynosi $P\cos\alpha$. Zatem

$$P=\frac{a^2}{2\cos\alpha}.$$

a) Dla $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$P=\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt3=\frac{a^2\sqrt3}{2}.$$

b) Jeśli $\tan\alpha=\frac12$, to $\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}$. Stąd

$$P=\frac{a^2}{2}\cdot\frac{\sqrt5}{2}=\frac{a^2\sqrt5}{4}.$$