MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 115

Przekrój płaszczyzną prostopadłą do wspólnej krawędzi dwóch ścian bocznych jest kątem wewnętrznym wielokąta foremnego w podstawie. Dla $n$-kąta ma on miarę

$$\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}.$$

Dla $n=3$, $5$ i $6$ otrzymujemy odpowiednio $60^\circ$, $108^\circ$ i $120^\circ$.

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Obie płaszczyzny przecinają podstawę wzdłuż $AB$. W przekroju prostopadłym do $AB$ kąt dwuścienny jest więc kątem między odpowiednim odcinkiem wychodzącym z $A$ a odcinkiem $AD$.

a) Odcinek prowadzący do środka $A_1D_1$ ma składowe $\frac a2$ w kierunku $AD$ i $a$ w pionie. Jego długość wynosi $\frac{a\sqrt5}{2}$, zatem

$$\cos\alpha=\frac{a/2}{a\sqrt5/2}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

b) Odcinek prowadzący do środka $DD_1$ ma składowe $a$ w kierunku $AD$ i $\frac a2$ w pionie, więc

$$\cos\beta=\frac{a}{a\sqrt5/2}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$