MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 114

Największa ściana ma wymiary $3$ i $2\sqrt3$. Przekątna prostopadłościanu ma długość

$$d=\sqrt{2^2+3^2+(2\sqrt3)^2}=5.$$

Składowa przekątnej prostopadła do tej ściany ma długość $2$, więc sinus kąta nachylenia przekątnej do ściany wynosi $\frac25$. Stąd

$$\cos\alpha=\sqrt{1-\frac4{25}}=\frac{\sqrt{21}}5.$$

Niech krawędź sześcianu ma długość $a$. Przyjmijmy $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$ i $E=(0,\frac a2,a)$. Wtedy

$$\overrightarrow{BE}=\left(-a,\frac a2,a\right), \qquad |BE|=\frac{3a}{2}.$$

a) Składowa prostopadła do ściany $ABB_1A_1$ ma długość $\frac a2$, zatem

$$\sin\alpha=\frac{a/2}{3a/2}=\frac13.$$

b) Składowa prostopadła do podstawy ma długość $a$, więc

$$\sin\beta=\frac{a}{3a/2}=\frac23.$$

Niech krawędzie prostopadłościanu mają długości $a$, $b$, $c$, a $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ będzie długością jego przekątnej. Dla ściany o bokach $a,b$ składowa przekątnej prostopadła do tej ściany ma długość $c$. Zatem

$$\cos^2\alpha=1-\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{d^2}.$$

Analogicznie

$$\cos^2\beta=\frac{a^2+c^2}{d^2},\qquad \cos^2\gamma=\frac{b^2+c^2}{d^2}.$$

Po dodaniu stronami dostajemy

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma =\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{d^2}=2.$$

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy, $O$ — jej środek, $M$ — środek boku, a $H$ — wysokość ostrosłupa. Mamy $OM=\frac a2$ i $OA=\frac a{\sqrt2}$.

a) Z warunku $\tan60^\circ=\frac{H}{OM}$ otrzymujemy $H=\frac{a\sqrt3}{2}$. Krawędź boczna ma długość

$$SA=\sqrt{H^2+OA^2}=\frac{a\sqrt5}{2},$$

więc sinus jej kąta z podstawą jest równy

$$\frac{H}{SA}=\frac{\sqrt{15}}5.$$

b) Teraz $\tan60^\circ=\frac{H}{OA}$, zatem $H=a\sqrt{\frac32}$. Wysokość ściany bocznej wynosi

$$SM=\sqrt{H^2+OM^2}=\frac{a\sqrt7}{2}.$$

Cosinus jej kąta z podstawą to

$$\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt7}{7}.$$

Krawędź kwadratowej podstawy ma długość $a=\sqrt P$. Niech $M$ będzie środkiem boku podstawy, a $O$ jej środkiem. Wtedy $OM=\frac a2$. Jeśli $l$ jest wysokością ściany bocznej, a $H$ wysokością ostrosłupa, to

$$l=\frac{OM}{\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha}, \qquad H=OM\tan\alpha=\frac a2\tan\alpha.$$

Pole powierzchni bocznej wynosi

$$P_b=4\cdot\frac12al=\frac{a^2}{\cos\alpha}=\frac P{\cos\alpha}.$$

Zatem

$$P_c=P\left(1+\frac1{\cos\alpha}\right), \qquad V=\frac13PH=\frac16P\sqrt P\tan\alpha.$$

Pole trójkątnej podstawy wynosi $\frac{a^2\sqrt3}{4}$. Z równania

$$\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot H =\frac{a^3\sqrt3}{12}$$

otrzymujemy $H=a$. Niech $O$ będzie środkiem podstawy, a $M$ środkiem jej boku. Wtedy $OA=\frac{a\sqrt3}{3}$ i $OM=\frac{a\sqrt3}{6}$.

a) Dla krawędzi bocznej

$$SA=\sqrt{H^2+OA^2}=\frac{2a}{\sqrt3}, \qquad \cos\angle(SA,ABC)=\frac{OA}{SA}=\frac12.$$

b) Dla wysokości ściany bocznej

$$SM=\sqrt{H^2+OM^2}=\frac{a\sqrt{39}}6, \qquad \cos\angle(SM,ABC)=\frac{OM}{SM}=\frac{\sqrt{13}}{13}.$$

Niech $S$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa, $O$ spodkiem jego wysokości, a $V_i$ — kolejnymi wierzchołkami podstawy. Dla każdej krawędzi bocznej $SV_i$ jej rzutem na podstawę jest $OV_i$. Jeśli wspólna miara kąta nachylenia wynosi $\varphi$, to

$$\tan\varphi=\frac{SO}{OV_i}.$$

Wielkości $SO$ i $\varphi$ są stałe, więc wszystkie odległości $OV_i$ są równe. Punkt $O$ jest zatem jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków podstawy, czyli jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Trójkąt o bokach $6$, $8$, $10$ jest prostokątny, gdyż $6^2+8^2=10^2$. Jego okrąg opisany ma promień równy połowie przeciwprostokątnej, czyli $R=5$.

Ponieważ wszystkie krawędzie boczne mają jednakową długość, rzut wierzchołka ostrosłupa na podstawę jest jej środkiem okręgu opisanego. Rzut każdej krawędzi bocznej na podstawę ma więc długość $5$. Dla krawędzi długości $13$ otrzymujemy

$$\cos\alpha=\frac5{13}.$$

Spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Promień tego okręgu wynosi

$$R=\frac{2a\sin(\alpha/2)}{2\sin\alpha} =\frac{a}{2\cos(\alpha/2)}.$$

Jeśli $H$ jest wysokością ostrosłupa, to z kąta nachylenia krawędzi bocznej otrzymujemy

$$H=R\tan\beta=\frac{a\tan\beta}{2\cos(\alpha/2)}.$$

Pole trójkątnej podstawy jest równe $\frac12a^2\sin\alpha$. Zatem

$$V=\frac13\cdot\frac12a^2\sin\alpha\cdot \frac{a\tan\beta}{2\cos(\alpha/2)} =\frac16a^3\sin\frac\alpha2\tan\beta.$$