MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 113

Oznaczmy krawędź sześcianu przez $a$, a środek dolnej podstawy przez $O$. Odcinek $SO$ jest wysokością ostrosłupa i ma długość $a$.

a) Rzutem krawędzi bocznej $SA$ na podstawę jest $OA$, przy czym $OA=\frac{a\sqrt2}{2}$. Zatem

$$SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=a\sqrt{\frac32}, \qquad \sin\angle(SA,ABCD)=\frac{SO}{SA}=\frac{\sqrt6}{3}.$$

b) Niech $M$ będzie środkiem boku $AB$. Wysokością ściany $SAB$ jest $SM$, a jej rzutem na podstawę — $OM$. Ponieważ $OM=\frac a2$, mamy

$$SM=\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}, \qquad \sin\angle(SM,ABCD)=\frac{a}{a\sqrt5/2}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

a) W czworościanie foremnym o krawędzi $a$ wysokość wynosi $a\sqrt{\frac23}$. Krawędź boczna ma długość $a$, zatem szukany sinus jest równy

$$\frac{a\sqrt{2/3}}a=\frac{\sqrt6}{3}.$$

b) Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, $m$ — wysokością ściany bocznej, a $H$ — wysokością ostrosłupa. Z warunku o polach:

$$3\cdot\frac{am}{2}=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4},$$

więc $m=a\sqrt3$. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy $r=\frac{a\sqrt3}{6}$, zatem

$$H^2=m^2-r^2=3a^2-\frac{a^2}{12}=\frac{35a^2}{12}.$$

Promień okręgu opisanego na podstawie wynosi $R=\frac{a\sqrt3}{3}$. Dla krawędzi bocznej $l$ mamy więc

$$l^2=H^2+R^2=\frac{35a^2}{12}+\frac{a^2}{3}=\frac{13a^2}{4}.$$

Szukany sinus to

$$\frac Hl=\sqrt{\frac{35}{39}}=\frac{\sqrt{1365}}{39}.$$