MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 112

Niech wspólna długość krawędzi będzie równa $a$. Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę może być krótszą przekątną sześciokąta o długości $a\sqrt3$ albo jego najdłuższą przekątną o długości $2a$.

Dla odpowiednich kątów $\alpha$ i $\beta$ mamy więc

$$\tan\alpha=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac1{\sqrt3},\qquad \tan\beta=\frac{a}{2a}=\frac12.$$

Stąd $\alpha=30^\circ$, a $\beta=\arctan\frac12\approx26{,}6^\circ$.

Długość przekątnej graniastosłupa wynosi

$$d=\sqrt{3^2+4^2+5^2}=5\sqrt2.$$

Sinus kąta między prostą a płaszczyzną jest ilorazem składowej prostopadłej do płaszczyzny i długości tej prostej. Dla jednej pary ścian bocznych składowa ta ma długość $3$, a dla drugiej — $4$. Zatem

$$\sin\alpha=\frac3{5\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{10},\qquad \sin\beta=\frac4{5\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{5}.$$

Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $h$. Rzut przekątnej graniastosłupa na rozpatrywaną ścianę boczną ma długość $\sqrt{a^2+h^2}$, a składowa prostopadła do tej ściany ma długość $a$. Dlatego

$$\tan\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+h^2}}.$$

Po podniesieniu do kwadratu i przekształceniu otrzymujemy

$$h^2=a^2\frac{1-\tan^2\alpha}{\tan^2\alpha}, \qquad h=a\frac{\sqrt{1-\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}.$$

Zatem

$$V=a^2h=a^3\frac{\sqrt{1-\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}.$$

Wysokość jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan\alpha<1$, czyli dla $\alpha<45^\circ$.

Niech $a$ oznacza krawędź podstawy, a $h$ — wysokość graniastosłupa. Rozpatrywana przekątna ściany bocznej ma długość

$$d=\sqrt{a^2+h^2}.$$

Jej składowa prostopadła do sąsiedniej ściany bocznej ma długość $\frac{\sqrt3}{2}a$. Stąd

$$\sin\alpha=\frac{a\sqrt3}{2d}, \qquad a=\frac{2d\sin\alpha}{\sqrt3}.$$

Zatem

$$h=\sqrt{d^2-a^2} =d\sqrt{1-\frac43\sin^2\alpha}.$$

Wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, gdy $\sin\alpha<\frac{\sqrt3}{2}$, czyli dla $\alpha<60^\circ$.