MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 108

Niech $l$ oznacza wysokość ściany bocznej, a $a$ bok podstawy. Połowa tej ściany jest trójkątem prostokątnym, zatem

[ \tan\alpha=\frac{a/2}{l}, \qquad a=2l\tan\alpha. ]

Ponieważ pole jednej ściany wynosi

[ S=\frac12al=l^2\tan\alpha, ]

mamy $l^2=S\cot\alpha$ oraz $a^2=4S\tan\alpha$. Wysokość ostrosłupa spełnia

[ H^2=l^2-\left(\frac a2\right)^2 =S(\cot\alpha-\tan\alpha). ]

Stąd

[ V=\frac13a^2H =\frac{4S\tan\alpha}{3} \sqrt{S(\cot\alpha-\tan\alpha)}. ]

Ściana boczna jest trójkątem równoramiennym prostokątnym. Jej przeciwprostokątną jest krawędź podstawy, więc $a=20$ cm, a krawędź boczna ma długość $10\sqrt2$ cm.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym wynosi $R=\frac{20}{\sqrt3}$. Zatem wysokość ostrosłupa jest równa

[ H=\sqrt{(10\sqrt2)^2-\left(\frac{20}{\sqrt3}\right)^2} =\frac{10\sqrt6}{3}\ \mathrm{cm}. ]

Pole podstawy wynosi $100\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$, więc

[ V=\frac13\cdot100\sqrt3\cdot\frac{10\sqrt6}{3} =\frac{1000\sqrt2}{3}\ \mathrm{cm}^3. ]

Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, a $b$ krawędzią boczną. Ostrosłup ma po trzy krawędzie każdego rodzaju, więc

[ 3a+3b=21, \qquad a+b=7. ]

Wysokość ostrosłupa spełnia

[ b^2-\frac{a^2}{3}=13, ]

bo promień okręgu opisanego na równobocznej podstawie wynosi $a/\sqrt3$. Po podstawieniu $b=7-a$ otrzymujemy

[ a^2-21a+54=0. ]

Pierwiastki to $3$ i $18$, lecz tylko $a=3$ daje dodatnie $b=4$. Pole podstawy wynosi $\frac{9\sqrt3}{4}$, więc

[ V=\frac13\cdot\frac{9\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{13} =\frac{3\sqrt{39}}{4}. ]

Apotema sześciokątnej podstawy o boku $6$ ma długość $r=3\sqrt3$. Jeżeli $H$ jest wysokością ostrosłupa, a $l$ wysokością ściany bocznej, to $l=2H$. Z twierdzenia Pitagorasa

[ (2H)^2=H^2+(3\sqrt3)^2, \qquad H=3\ \mathrm{cm}. ]

Pole sześciokątnej podstawy wynosi

[ P_p=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot6^2=54\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Zatem $V=\frac13\cdot54\sqrt3\cdot3=54\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$.

Dla czworościanu foremnego o krawędzi $a$ wysokość bryły i objętość są równe

[ H=\frac{a\sqrt6}{3}, \qquad V=\frac{a^3\sqrt2}{12}. ]

a) Z $H=2$ otrzymujemy $a=\sqrt6$, a więc

[ V=\frac{(\sqrt6)^3\sqrt2}{12}=\sqrt3\ \mathrm{cm}^3. ]

b) Wysokość ściany wynosi $h_s=\frac{a\sqrt3}{2}$. Stosunek $h_s/H$ jest równy $\frac{3\sqrt2}{4}$. Warunek $h_s-H=1$ daje

[ H\left(\frac{3\sqrt2}{4}-1\right)=1, \qquad H=8+6\sqrt2. ]

Korzystając z $V=\frac{\sqrt3}{8}H^3$, otrzymujemy

[ V=280\sqrt3+198\sqrt6\ \mathrm{cm}^3. ]

Ustawmy wierzchołki czworościanu w punktach

[ (x,y,z),\quad(x,-y,-z),\quad(-x,y,-z),\quad(-x,-y,z). ]

Wtedy trzy pary przeciwległych krawędzi mają długości $2\sqrt{y^2+z^2}$, $2\sqrt{x^2+z^2}$ i $2\sqrt{x^2+y^2}$. Z danych zadania

[ y^2+z^2=4, \qquad x^2+z^2=x^2+y^2=\frac{25}{4}. ]

Stąd $y^2=z^2=2$ oraz $x^2=\frac{17}{4}$. Objętość takiego czworościanu jest równa $\frac83xyz$, zatem

[ V=\frac83\cdot\frac{\sqrt{17}}2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2 =\frac{8\sqrt{17}}{3}\ \mathrm{cm}^3. ]

Pole równobocznej podstawy wynosi $P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}$. Z warunku $P_c=7P_p$ wynika $P_b=6P_p$. Jeśli $l$ jest wysokością ściany bocznej, to

[ 3\cdot\frac12al=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}, \qquad l=a\sqrt3. ]

Odległość środka podstawy od jej boku wynosi $r=\frac{a\sqrt3}{6}$. Zatem wysokość ostrosłupa jest równa

[ H=\sqrt{l^2-r^2} =\frac{a\sqrt{105}}{6}. ]

Stąd

[ V=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{105}}6 =\frac{a^3\sqrt{35}}{24}. ]

Odległość środka równobocznej podstawy od jej boku wynosi $r=\frac{a\sqrt3}{6}$. W przekroju przez wierzchołek ostrosłupa, środek podstawy i środek boku mamy

[ \tan\alpha=\frac rH, \qquad H=\frac{a\sqrt3}{6\tan\alpha}. ]

Pole podstawy jest równe $\frac{a^2\sqrt3}{4}$, zatem

[ V=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4} \cdot\frac{a\sqrt3}{6\tan\alpha} =\frac{a^3}{24\tan\alpha}. ]

Płaszczyzna przechodząca przez środki krawędzi bocznych odcina przy wierzchołku ostrosłup podobny do wyjściowego w skali liniowej $1:2$. Objętości brył podobnych są proporcjonalne do sześcianu skali, więc objętość małego ostrosłupa wynosi

[ \left(\frac12\right)^3V=\frac18V. ]

Ostrosłup ścięty jest pozostałą częścią bryły, zatem

[ V_{\text{ściętego}}=V-\frac18V=\frac78V. ]

Bok podstawy ma długość $\sqrt{18}=3\sqrt2$, więc promień okręgu opisanego na kwadracie wynosi $R=3$. Wysokość całego ostrosłupa jest równa

[ H=\sqrt{10^2-3^2}=\sqrt{91}\ \mathrm{cm}, ]

a jego objętość

[ V=\frac13\cdot18\sqrt{91}=6\sqrt{91}\ \mathrm{cm}^3. ]

Stosunek pól przekroju i podstawy wynosi $4:18$, więc skala liniowa małego ostrosłupa do całego jest równa

[ k=\sqrt{\frac4{18}}=\frac{\sqrt2}{3}. ]

Objętość małego ostrosłupa wynosi

[ V_1=k^3V=\frac{2\sqrt2}{27}\cdot6\sqrt{91} =\frac{4\sqrt{182}}9\ \mathrm{cm}^3. ]

Objętość ostrosłupa ściętego jest różnicą

[ V_2=6\sqrt{91}-\frac{4\sqrt{182}}9\ \mathrm{cm}^3. ]