MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 109

a) Rzutem prostej $A_1B$ na płaszczyznę podstawy jest $AB$. Proste $AD$ i $BC$ są prostopadłe do $AB$, więc na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych są także prostopadłe do $A_1B$.

b) Przyjmijmy współrzędne wierzchołków zgodne z trzema krawędziami sześcianu. Wektor kierunkowy prostej $BD_1$ jest proporcjonalny do $(-1,1,1)$. Wektory kierunkowe prostych

[ AC,\ A_1C_1;qquad AB_1,\ DC_1;qquad CB_1,\ DA_1 ]

są proporcjonalne odpowiednio do $(1,1,0)$, $(1,0,1)$ i $(0,-1,1)$. Każdy z nich ma iloczyn skalarny z $(-1,1,1)$ równy zeru. Są to wszystkie proste wyznaczone przez pary wierzchołków sześcianu spełniające ten warunek.

Niech $S$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa, $ABCD$ jego kwadratową podstawą, a $O$ środkiem podstawy. Rzutem prostej $SA$ na płaszczyznę podstawy jest prosta $AO$, czyli prosta zawierająca przekątną $AC$.

Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc $BD\perp AO$. Na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych otrzymujemy $BD\perp SA$. Analogicznie każda krawędź boczna jest prostopadła do tej przekątnej podstawy, która nie przechodzi przez jej dolny koniec.