MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 107

Objętość jest równa $\frac13P_p\cdot15=5P_p$.

a) Kwadratowa podstawa ma bok $24/4=6$ i pole $36$, więc $V=180\ \mathrm{cm}^3$.

b) Trójkąt równoboczny ma bok $24/3=8$ i pole $16\sqrt3$, więc $V=80\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$.

c) Sześciokąt foremny ma bok $24/6=4$ i pole $24\sqrt3$, więc $V=120\sqrt3\ \mathrm{cm}^3$.

Kąt $60^\circ$ jest kątem płaskim przy wierzchołku ściany bocznej. Ściana ta jest więc trójkątem równobocznym. Jeżeli bok podstawy ma długość $a$, to

[ P_c=a^2+4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2(1+\sqrt3). ]

Porównanie z $36(1+\sqrt3)$ daje $a=6$ cm. Krawędź boczna również ma długość $6$, a promień okręgu opisanego na kwadracie wynosi $R=3\sqrt2$. Wysokość ostrosłupa jest więc równa

[ H=\sqrt{6^2-(3\sqrt2)^2}=3\sqrt2. ]

Zatem

[ V=\frac13\cdot36\cdot3\sqrt2=36\sqrt2\ \mathrm{cm}^3. ]

Połowa ściany bocznej jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $13$. Z warunku $\cos\frac\alpha2=\frac{12}{13}$ wynika, że wysokość ściany bocznej ma długość $12$, a połowa podstawy — $5$. Zatem bok kwadratowej podstawy wynosi $a=10$.

Krawędź boczna ma długość $13$, a odległość środka kwadratu od jego wierzchołka wynosi $5\sqrt2$. Stąd wysokość ostrosłupa:

[ H=\sqrt{13^2-(5\sqrt2)^2}=\sqrt{119}. ]

Objętość wynosi

[ V=\frac13\cdot100\cdot\sqrt{119} =\frac{100\sqrt{119}}{3}\ \mathrm{cm}^3. ]

Spodek wysokości ostrosłupa prostego jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie. Odległość tego środka od wierzchołka wynosi połowę przekątnej podstawy:

[ R=\frac12\sqrt{a^2+(2a)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}. ]

Jeżeli $H$ jest wysokością, to w trójkącie utworzonym przez wysokość, promień $R$ i krawędź boczną

[ \tan\alpha=\frac{R}{H}, \qquad H=\frac{a\sqrt5}{2\tan\alpha}. ]

Zatem

[ V=\frac13\cdot2a^2\cdot H =\frac{a^3\sqrt5}{3\tan\alpha}. ]

Dla czworościanu foremnego o krawędzi $a$ zachodzą wzory

[ P_c=a^2\sqrt3, \qquad V=\frac{a^3\sqrt2}{12}. ]

a) Z $a^2\sqrt3=36\sqrt3$ otrzymujemy $a=6$ cm. Zatem

[ V=\frac{6^3\sqrt2}{12}=18\sqrt2\ \mathrm{cm}^3. ]

b) Z równania $\frac{a^3\sqrt2}{12}=18\sqrt2$ wynika $a^3=216$, czyli $a=6$ cm. Stąd $P_c=36\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$.