MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 106

W przekroju przez wierzchołek, środek podstawy i środek jej boku apotema $r$ równobocznej podstawy spełnia

[ r=\sqrt{15^2-12^2}=9\ \mathrm{cm}. ]

Dla trójkąta równobocznego $r=\frac{a\sqrt3}{6}$, więc $a=18\sqrt3$ cm. Pole podstawy wynosi

[ P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=243\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Zatem

[ V=\frac13P_pH =\frac13\cdot243\sqrt3\cdot12 =972\sqrt3\ \mathrm{cm}^3. ]

a) Jeżeli $R$ jest promieniem okręgu opisanego na podstawie, to

[ \tan\alpha=\frac{R}{16}=0{,}5, \qquad R=8. ]

Dla trójkąta równobocznego $a=R\sqrt3=8\sqrt3$, więc $P_p=48\sqrt3$. Stąd

[ V=\frac13\cdot48\sqrt3\cdot16=256\sqrt3\ \mathrm{cm}^3. ]

b) Niech $l$ będzie wysokością ściany bocznej, a $r$ apotemą podstawy. Z $16/l=0{,}8$ mamy $l=20$, a zatem

[ r=\sqrt{20^2-16^2}=12. ]

Stąd $a=2r\sqrt3=24\sqrt3$, $P_p=432\sqrt3$ i

[ V=\frac13\cdot432\sqrt3\cdot16=2304\sqrt3\ \mathrm{cm}^3. ]

Oznaczmy $u=\frac\alpha2$. Wysokość ściany bocznej wynosi

[ l=\frac{a}{2\tan u}. ]

a) Dla kwadratowej podstawy odległość jej środka od boku wynosi $a/2$. Wysokość ostrosłupa jest więc równa

[ H=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{4}} =\frac a2\sqrt{\cot^2u-1}. ]

Zatem

[ V=\frac13a^2H =\frac{a^3}{6}\sqrt{\cot^2\frac\alpha2-1}. ]

b) Dla trójkąta równobocznego odległość środka od boku wynosi $\frac{a\sqrt3}{6}$. Stąd

[ H=\sqrt{\frac{a^2}{4}\cot^2u-\frac{a^2}{12}}, ]

a po pomnożeniu przez $\frac13P_p=\frac{a^2\sqrt3}{12}$ otrzymujemy

[ V=\frac{a^3}{24}\sqrt{3\cot^2\frac\alpha2-1}. ]