MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 105

Pole kwadratowej podstawy jest równe połowie kwadratu jej przekątnej:

[ P_p=\frac{8^2}{2}=32\ \mathrm{cm}^2. ]

Objętość całego graniastosłupa wynosi $32\cdot6=192\ \mathrm{cm}^3$. Z proporcji $CM:MC_1=2:1$ otrzymujemy $CM=4$ cm.

Jedną z odciętych brył jest ostrosłup $MBCD$. Jego podstawą jest trójkąt $BCD$ o polu $16\ \mathrm{cm}^2$, a wysokością odcinek $CM=4$ cm. Zatem

[ V_1=\frac13\cdot16\cdot4=\frac{64}{3}\ \mathrm{cm}^3. ]

Objętość drugiej części jest równa

[ V_2=192-\frac{64}{3}=\frac{512}{3}\ \mathrm{cm}^3. ]

a) Niech $l$ będzie wysokością ściany bocznej, a $a$ bokiem podstawy. Z warunku

[ \frac9l=0{,}9 ]

otrzymujemy $l=10$. Stąd $a/2=\sqrt{10^2-9^2}=\sqrt{19}$, czyli $a=2\sqrt{19}$. Zatem

[ V=\frac13a^2\cdot9 =\frac13\cdot76\cdot9=228. ]

b) Jeżeli $k$ jest krawędzią boczną, to $9/k=0{,}6$, więc $k=15$. Promień okręgu opisanego na kwadratowej podstawie wynosi

[ R=\sqrt{15^2-9^2}=12. ]

Zatem $a=R\sqrt2=12\sqrt2$, $a^2=288$ i

[ V=\frac13\cdot288\cdot9=864. ]

Bok kwadratowej podstawy ma długość $a=\sqrt P$. Pole boczne jest równe

[ P_b=4\cdot\frac12ah=2h\sqrt P, ]

więc

[ P_c=P+2h\sqrt P. ]

Wysokość ostrosłupa $H$ wraz z połową boku podstawy i wysokością ściany bocznej tworzy trójkąt prostokątny:

[ H=\sqrt{h^2-\frac{a^2}{4}} =\sqrt{h^2-\frac P4}. ]

Stąd

[ V=\frac P3\sqrt{h^2-\frac P4}. ]