MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 101

Niech $S$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa, $O$ spodkiem jego wysokości, a $A_1,\ldots,A_n$ wierzchołkami podstawy. W ostrosłupie prostym wszystkie krawędzie boczne mają wspólną długość $l$.

Każdy trójkąt $SOA_i$ jest prostokątny, zatem

[ OA_i^2=SA_i^2-SO^2=l^2-SO^2. ]

Prawa strona nie zależy od wyboru wierzchołka $A_i$, więc

[ OA_1=OA_2=\ldots=OA_n. ]

Punkt $O$ jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków podstawy, czyli jest środkiem okręgu opisanego na tej podstawie.

a) Odległość środka kwadratu o boku $5$ od jego wierzchołka wynosi $\frac{5\sqrt2}{2}>3$. Krawędź boczna długości $3$ nie może więc połączyć wierzchołka ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy. To nie jest siatka ostrosłupa prostego.

b) Wszystkie cztery krawędzie boczne mają długość $3$, więc siatka przedstawia ostrosłup prosty. Podstawa ma pole $2^2=4$. Wysokość każdej ściany bocznej wynosi

[ \sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2, ]

zatem jej pole jest równe $\frac12\cdot2\cdot2\sqrt2=2\sqrt2$. Ostatecznie

[ P_c=4+4\cdot2\sqrt2=4+8\sqrt2. ]

c) Wspólnemu wierzchołkowi ostrosłupa odpowiadałyby krawędzie boczne długości $3$, $3\sqrt2$ i $5$. Nie są równe, więc nie jest to siatka ostrosłupa prostego.