MATeMAtyka 4. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 102

Podstawą jest prostokąt $5\times8$, więc $P_p=40$. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość $5$.

Dwie ściany o podstawie długości $5$ są trójkątami równobocznymi. Ich łączne pole wynosi

[ 2\cdot\frac{25\sqrt3}{4}=\frac{25\sqrt3}{2}. ]

Pozostałe ściany mają boki $5,5,8$. Ich wysokość jest równa $\sqrt{5^2-4^2}=3$, więc każda ma pole $\frac12\cdot8\cdot3=12$. Zatem

[ P_c=40+2\cdot12+\frac{25\sqrt3}{2} =64+\frac{25\sqrt3}{2}. ]

Środek okręgu opisanego na prostokącie jest jego środkiem, a odległość od każdego wierzchołka wynosi połowę przekątnej:

[ R=\frac12\sqrt{6^2+8^2}=5\ \mathrm{cm}. ]

Jeżeli równoboczne są ściany o podstawie $6$, to każda krawędź boczna ma długość $6$. Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość ostrosłupa, promień $R$ i krawędź boczną:

[ H=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\ \mathrm{cm}. ]

Jeżeli równoboczne są ściany o podstawie $8$, analogicznie

[ H=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}\ \mathrm{cm}. ]

Każda ściana boczna jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, którego przeciwprostokątną jest krawędź podstawy długości $4$. Ramiona mają więc długość $2\sqrt2$, a pole jednej ściany bocznej wynosi

[ \frac12(2\sqrt2)^2=4\ \mathrm{cm}^2. ]

Trzy ściany boczne mają łącznie pole $12\ \mathrm{cm}^2$, a pole równobocznej podstawy wynosi $\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3$. Zatem

[ P_c=12+4\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Jeżeli bok równobocznej podstawy ma długość $a$, to

[ \frac{a^2\sqrt3}{4}=25\sqrt3, \qquad a=10. ]

Pole całkowite jest siedem razy większe od pola podstawy, więc pole boczne jest sześć razy większe:

[ P_b=6\cdot25\sqrt3=150\sqrt3. ]

Jeżeli $l$ jest wysokością ściany bocznej, to

[ P_b=3\cdot\frac12\cdot10\cdot l=15l. ]

Stąd $l=10\sqrt3$.

Ściana boczna jest trójkątem równoramiennym o podstawie $6$ i kącie między ramionami $60^\circ$. Taki trójkąt jest równoboczny. Pole każdej z czterech ścian bocznych wynosi zatem $9\sqrt3$, a pole kwadratowej podstawy — $36$. Stąd

[ P_c=36+4\cdot9\sqrt3=36+36\sqrt3\ \mathrm{cm}^2. ]

Czworościan foremny ma cztery ściany równoboczne, więc

[ P_c=4\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3. ]

a) Dla $a=5$ otrzymujemy $P_c=25\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$.

b) Z równania $a^2\sqrt3=49\sqrt3$ wynika $a=7$ cm. Czworościan ma sześć krawędzi, więc suma ich długości wynosi $6\cdot7=42$ cm.