MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 82

Dla $P=(-3,-\sqrt7)$ promień ma długość $4$. Zatem $\tg\alpha=\sqrt7/3$ i $\cos\alpha=-3/4$. Rozwinięcie sumy zaczyna się od $0{,}131\ldots$.

Redukujemy kąty: $\tg585^\circ=1$, $\sin675^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$, $\sin495^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ i $\cos750^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$. Upraszczamy otrzymany iloraz.

Z proporcji przyprostokątnych dla $\tg x=-3/2$ oraz II ćwiartki mamy przeciwprostokątną $\sqrt{13}$ i ujemny cosinus.

Najmniejszy dodatni argument spełniający $\sin(2\pi x)=1/2$ to $2\pi x=\pi/6$, więc $x=1/12$.

Na $[0,\pi]$ funkcja jest równa $\sin2x$, a na $[\pi,2\pi]$ jest równa $-\sin2x$. Obie części mają wartości w $[-1,1]$. Przecięcia z poziomą prostą liczymy, uwzględniając końce i wspólne zera.

Przenosimy $1$ i korzystamy z $\sin u-\cos u=\sqrt2\sin(u-\pi/4)$. Rozwiązania dla $u=2x$ ograniczamy do $[-4\pi,4\pi]$.

Po użyciu $\sin^2x=1-\cos^2x$ dostajemy $2\cos^2x+\sqrt3\cos x-3=0$. Dopuszczalny jest poziom $\cos x=\sqrt3/2$. Pierwiastki na $[0,4\pi]$ tworzą dwie symetryczne pary, których suma wynosi $8\pi$.

Rozwijamy sinus $5x$ i iloczyny jako sumy. Po redukcji otrzymujemy iloczyn czynników prowadzących do poziomów $\sin x=0$ oraz $\cos x=\pm1/2$.

Trójmian musi być rzeczywiście kwadratowy: $2\cos\alpha-1\ne0$, oraz mieć $\Delta>0$. Po uproszczeniu warunki dają $\cos\alpha>-1/2$ z wyłączeniem $\cos\alpha=1/2$.

Z Viète'a suma kwadratów pierwiastków to $16\sin^2\alpha-4\cos2\alpha=24\sin^2\alpha-4$. Warunek większy od $8$ daje $\sin^2\alpha>1/2$; wyróżnik jest wtedy dodatni.