MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 81

Redukujemy cztery kąty modulo $360^\circ$. Tylko $1950^\circ\equiv150^\circ$, a $\sin150^\circ=\frac12$.

W III ćwiartce sinus jest ujemny, a kątem odniesienia jest $\pi/6$, zatem $\alpha=\pi+\pi/6$.

Warunki umieszczają $x$ w III ćwiartce, więc $\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$. Podstawiamy do $\cos^2x+\sin x$.

Ze wzoru $\sin2\alpha=\frac{2t}{1+t^2}$ dla $t=\tg\alpha$ dostajemy $\sin^22\alpha=\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}$.

W przedziale $(\pi,3\pi)$ warunek $\cos x=-1/2$ daje $x=4\pi/3$ albo $8\pi/3$. Połówki obu kątów mają cosinus $-1/2$.

Rozpoznajemy wzór $\sin a\cos b-\sin b\cos a=\sin(a-b)$; różnica wynosi $-45^\circ$.

Korzystamy ze wzoru na sumę cosinusów albo obliczamy wartości dokładne: $a=(\sqrt6-\sqrt2-\sqrt6-\sqrt2)/4$.

Równanie $\cos x=\tg x$ po pomnożeniu przez $\cos x\ne0$ daje $\sin x=\cos^2x$, czyli dla $s=\sin x$: $s^2+s-1=0$. Dopuszczalny poziom występuje raz w każdym okresie $2\pi$; na przedziale $[0,99\pi]$ mieści się $50$ dodatnich półfal sinusa. Na każdej z nich poziom jest osiągany dwa razy, czyli otrzymujemy $100$ przecięć.

Dzieląc $1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha$ przez $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$, otrzymujemy $\tg^2\alpha$.

Sprawdzamy rozwiązania na domkniętym przedziale. Równanie $\sin^2x=1$ daje $x=\pi/2+k\pi$, a w $[-2\pi,2\pi]$ są dokładnie cztery takie liczby.

Rozwiązujemy $\tg(x/2)\ge\sqrt3$ przed pierwszą asymptotą. Spośród liczb naturalnych $1,2,3,\ldots$ pierwsza spełniająca warunek to $3$.