MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 79 — rozwiązania zadań

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przyrównujemy wzory funkcji, upraszczamy i liczymy rozwiązania w domkniętym przedziale.

Odpowiedź

a) $1$ punkt; b) $3$ ; c) $1$ ; d) $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzory redukcyjne. W a–b składniki tworzą $\cos2x$ , w c dokładnie się redukują.

Odpowiedź

a), b) $f(x)=\cos2x$ ; c) $f(x)=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Cały argument oznaczamy przez $t$ , rozwiązujemy standardowe równanie i wracamy liniowo do $x$ .

Odpowiedź

a) $x=\pm\frac\pi9+\frac{2k\pi}{3}$ ; b) $x=\frac{7\pi}{12}+k\pi$ lub $\frac{11\pi}{12}+k\pi$ ; c) $x=-\frac\pi3+k\pi$ lub $\frac\pi2+k\pi$ ; d) $x=\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{6}$ ; e) $x=\frac\pi{12}+k\pi$ ; f) $x=-\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$ lub $-\frac\pi{12}+\frac{k\pi}{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy jedną funkcję przez $1$ minus kwadrat drugiej i odrzucamy niedopuszczalne pierwiastki trójmianu.

Odpowiedź

a) $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ ; b) $x=-\frac\pi2+2k\pi$ ; c) $x=(2k+1)\pi$ ; d) $x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$ ; e) $x=\frac\pi2+2k\pi$ ; f) $x=\frac\pi3+2k\pi$ lub $\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Używamy jedynki trygonometrycznej i wzorów wielokrotnego kąta, a następnie rozkładamy równania na czynniki.

Odpowiedź

a) $x=\frac{k\pi}{2}$ ; b) $x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$ ; c) poprzednia rodzina lub $x=k\pi$ ; d) $x=k\pi$ lub $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ ; e) $x=\frac\pi6+\frac{k\pi}{3}$ ; f) $x=k\pi$ lub $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozkładamy równanie na czynniki i wybieramy tylko punkty z $[0,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $0,\frac\pi3,\pi,\frac{5\pi}{3},2\pi$ ; b) $\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}{2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 17

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każdą funkcję do postaci $R\sin(x+\varphi)$ albo analizujemy moduł i odczytujemy ekstremalne wartości.

Odpowiedź

a), b), d) minimum $-2$ , maksimum $2$ ; c) minimum $-1$ , maksimum $1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 18

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Upraszczamy $\cos2x=2\cos^2x-1$ , więc $f=\cos^2x+1/2$ . Następnie rozwiązujemy nierówność w podanej dziedzinie.

Odpowiedź

$W_f=[\frac12,\frac32]$ ; $x\in(0,\frac\pi3)\cup(\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3})\cup(\frac{5\pi}{3},2\pi)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 19

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy przesunięty argument, rozwiązujemy bazową nierówność i przecinamy z $[0,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $[0,\frac\pi3]\cup(\pi,2\pi]$ ; b) $[0,\frac\pi2]\cup[\frac{11\pi}{6},2\pi]$ ; c) $[\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 20

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy oba warunki osobno na osi liczbowej i bierzemy ich część wspólną z $[-\pi,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $(0,\frac\pi3)\cup(\frac\pi2,\pi)$ ; b) $[-\pi,-\frac{5\pi}{6}]\cup[\frac\pi3,\frac{7\pi}{6}]$ ; c) $(-\pi,0)\cup(0,\pi)\cup(\pi,2\pi)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem