MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 77 — rozwiązania zadań

Zadanie 9

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy równanie tangensa/cotangensa, po czym wybieramy punkty z podanego zbioru.

Odpowiedź

a) $\frac{5\pi}{4}$ ; b) $-\frac\pi3,\frac\pi3$ ; c) $\frac{13\pi}{6},\frac{17\pi}{6}$ ; d) $-\frac{2\pi}{3},-\frac\pi3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze skanu jeden okres to otwarty odcinek malejący od $(2k,2)$ do $(2k+2,0)$ oraz pełny punkt $(2k,1)$ . Powtarzamy go dla $k=-2,-1,0,1$ ; poziom $y=1$ przecina każdy odcinek i zawiera każdy osobny punkt.

Odpowiedź

W $[-4,4)$ równanie $f(x)=1$ ma $8$ rozwiązań.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przesunięcia pionowe i poziome odczytujemy z funkcji bazowej; miejsca zerowe rozwiązujemy równaniem odpowiedniej funkcji.

Odpowiedź

a) wartości $[1,3]$ , brak zer; b) $[-2,0]$ , zera $x=\frac\pi6+(2k+1)\pi$ ; c) wartości $\mathbb R$ , zera $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ ; d) wartości $\mathbb R$ , zera $x=k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy brakującą wartość ze znakiem ćwiartki, a potem ilorazy.

Odpowiedź

a) $\cos=-\frac5{13},\tg=-\frac{12}{5},\ctg=-\frac5{12}$ ; b) $\sin=-\frac45,\tg=\frac43,\ctg=\frac34$ ; c) $\cos=-\frac{2\sqrt2}{3},\tg=\frac{\sqrt2}{4},\ctg=2\sqrt2$ ; d) $\sin=-\frac{\sqrt{15}}4,\tg=-\sqrt{15},\ctg=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 13

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Traktujemy tangens/cotangens jako stosunek przyprostokątnych i dobieramy znaki z ćwiartki.

Odpowiedź

a) $\sin=-\frac{\sqrt{10}}{10},\cos=-\frac{3\sqrt{10}}{10},\ctg=3$ ; b) $\sin=\frac{2\sqrt{13}}{13},\cos=-\frac{3\sqrt{13}}{13},\ctg=-\frac32$ ; c) $\sin=-\frac{2\sqrt5}{5},\cos=\frac{\sqrt5}{5},\ctg=-\frac12$ ; d) $\sin=\frac{\sqrt{10}}{10},\cos=\frac{3\sqrt{10}}{10},\tg=\frac13$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 14

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdą lewą stronę upraszczamy jedynką trygonometryczną oraz definicjami tangensa i cotangensa.

Odpowiedź

Wszystkie zależności a)–d) są tożsamościami w swoich dziedzinach.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zastępujemy $\sin^4x=(1-\cos^2x)^2$ . Po redukcji wszystkie składniki zależne od $x$ znikają.

Odpowiedź

$f(x)=-1$ dla każdego $x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 16

6 podpunktów

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy strony do wspólnych mianowników, używając $\sin^2x+\cos^2x=1$ i definicji funkcji ilorazowych.

Odpowiedź

Każda z równości a)–f jest tożsamością w swojej wspólnej dziedzinie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 17

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odczytujemy zbiór wartości lewej strony i liczbę przecięć z poziomem $m$ , osobno na końcach i w środku przedziału wartości.

Odpowiedź

a) 0 dla $m<0$ lub $m>2$ , 1 dla $m=0$ , 2 dla $0<m\le2$ ; b) 0 poza $[-3,1]$ , 1 dla $m=-3,1$ , 3 dla $m=-1$ , poza tym 2; c) 0 poza $[\frac12,\frac32]$ , 3 dla $m=\frac12$ , 2 dla $m=\frac32$ , 4 wewnątrz.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 18

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Równanie ma rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy $m$ należy do zbioru wartości funkcji; wyznaczamy go z zakresów sinusa, tangensa i modułu.

Odpowiedź

a) $m\in[-2,4]$ ; b) $m\in[-4,\infty)$ ; c) $m\in[\frac12,1]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem