MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 71 — rozwiązania zadań

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy każdą funkcję z jej wartością maksymalną/minimalną i pilnujemy punktów wyłączonych z dziedziny.

Odpowiedź

a) $\{\frac\pi2+2k\pi\}$ ; b) $\mathbb R\setminus\{2k\pi\}$ ; c) $\mathbb R\setminus\{k\pi\}$ ; d) $\{\frac\pi2+k\pi\}$ ; e) $\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi\}$ ; f) $\{k\pi\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy nierówność modułową na pełnych okresach, następnie przecinamy z $[-\pi,\pi]$ .

Odpowiedź

a) $[-\pi,-\frac{2\pi}{3})\cup(-\frac\pi3,\frac\pi3)\cup(\frac{2\pi}{3},\pi]$ ; b) $(-\frac{2\pi}{3},-\frac\pi3)\cup(\frac\pi3,\frac{2\pi}{3})$ ; c) $[-\pi,-\frac{3\pi}{4}]\cup[-\frac\pi4,\frac\pi4]\cup[\frac{3\pi}{4},\pi]$ ; d) $[-\pi,-\frac{5\pi}{6}]\cup[-\frac\pi6,\frac\pi6]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi]$ ; e) $(-\frac{11\pi}{12},-\frac{7\pi}{12})\cup(-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi{12})\cup (\frac\pi{12},\frac{5\pi}{12})\cup(\frac{7\pi}{12},\frac{11\pi}{12})$ ; f) $(-\frac{7\pi}{8},-\frac{5\pi}{8})\cup(-\frac{3\pi}{8},-\frac\pi8)\cup (\frac\pi8,\frac{3\pi}{8})\cup(\frac{5\pi}{8},\frac{7\pi}{8})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy nierówności tangensa na każdym przedziale ciągłości i przecinamy z $[0,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $(\frac\pi2,\frac{3\pi}{4})\cup(\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4})$ ; b) $[\frac\pi6,\frac\pi2)\cup[\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2})$ ; c) $[0,\frac\pi4]\cup[\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\cup[\frac{7\pi}{4},2\pi]$ ; d) $(\frac\pi3,\frac\pi2)\cup(\frac\pi2,\frac{2\pi}{3})\cup(\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2})\cup(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3})$ ; e) $[0,\frac\pi{12})\cup(\frac{5\pi}{12},\frac{7\pi}{12})\cup(\frac{11\pi}{12},\frac{13\pi}{12})\cup(\frac{17\pi}{12},\frac{19\pi}{12})\cup(\frac{23\pi}{12},2\pi]$ ; f) $(\frac{2\pi}{3},\pi)\cup(\pi,\frac{4\pi}{3})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z wykresu $\sin2x$ odczytujemy łuki nad i pod wskazanymi poziomami; algebraicznie podstawiamy $t=2x$ .

Odpowiedź

a) $(\frac\pi6+k\pi,\frac\pi3+k\pi)$ ; b) $(\frac{2\pi}{3}+k\pi,\frac{5\pi}{6}+k\pi)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy funkcje na jedną stronę i używamy wzorów suma–iloczyn, a potem przecinamy rozwiązania z $[-\pi,3\pi]$ .

Odpowiedź

a) $[-\pi,-\frac{3\pi}{4}]\cup[\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}]\cup[\frac{9\pi}{4},3\pi]$ ; b) $[-\pi,-\frac\pi4)\cup(\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4})\cup(\frac{11\pi}{4},3\pi]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Porównujemy wykresy lub przenosimy strony i rozkładamy różnice funkcji na czynniki. Punkty asymptot tangensa są wyłączone.

Odpowiedź

a) $(0,\frac\pi2)$ ; b) $[\frac\pi6,\frac\pi2]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi)$ ; c) $(0,\frac\pi4)\cup(\frac{3\pi}{4},\pi)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpatrujemy osobno znak funkcji wewnątrz modułu i rozwiązujemy powstałe nierówności poziomu.

Odpowiedź

a) $(\frac\pi6+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi)$ ; b) $[\frac\pi3+2k\pi,\frac{5\pi}{3}+2k\pi]$ ; c) $x=-\frac\pi4+2k\pi$ lub $\frac\pi4+2k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $t=\sin x$ lub $t=\cos x$ , rozwiązujemy nierówność wielomianową na $[-1,1]$ i wracamy do argumentu.

Odpowiedź

a) $(\frac\pi6,\frac\pi2)\cup(\frac\pi2,\frac{5\pi}{6})$ modulo $2\pi$ ; b) $(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$ modulo $2\pi$ ; c) $(\frac{2\pi}{3},\pi)\cup(\pi,\frac{4\pi}{3})$ modulo $2\pi$ ; d) $\mathbb R$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $t=\tg x$ , rozkładamy wielomian i rozwiązujemy znaki na każdym przedziale ciągłości.

Odpowiedź

a) $(-\frac\pi3+k\pi,\frac\pi6+k\pi)$ ; b) $(-\frac\pi2+k\pi,-\frac\pi4+k\pi]\cup[k\pi,\frac\pi4+k\pi]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem