Przejdź do treści
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 70

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.16. Nierówności trygonometryczne” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Dzielimy przez dodatnie stałe, rozwiązujemy nierówność sinusa/cosinusa na jednym okresie i przesuwamy o 2kπ2k\pi.

Odpowiedź

a) (−5π4+2kπ,π4+2kπ)(-\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac\pi4+2k\pi); b) [π3+2kπ,2π3+2kπ][\frac\pi3+2k\pi,\frac{2\pi}{3}+2k\pi]; c) [−5π6+2kπ,5π6+2kπ][-\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi].

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Podstawiamy cały argument lub korzystamy z monotoniczności tangensa/cotangensa; po powrocie dzielimy granice przez współczynnik.

Odpowiedź

a) [−π18+2kπ3,7π18+2kπ3][-\frac\pi{18}+\frac{2k\pi}{3},\frac{7\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}]; b) (−8π3+4kπ,2π3+4kπ)(-\frac{8\pi}{3}+4k\pi,\frac{2\pi}{3}+4k\pi); c) [−π6+kπ,π6+kπ][-\frac\pi6+k\pi,\frac\pi6+k\pi]; d) [−5π3+4kπ,5π3+4kπ][-\frac{5\pi}{3}+4k\pi,\frac{5\pi}{3}+4k\pi]; e) (−π2+kπ,π6+kπ)(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi6+k\pi); f) [2π3+kπ,π+kπ)[\frac{2\pi}{3}+k\pi,\pi+k\pi).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Podstawiamy wielokrotny argument jako tt, rozwiązujemy nierówność bazową, a potem dzielimy końce przedziałów przez współczynnik.

Odpowiedź

a) [5π18+2kπ3,13π18+2kπ3][\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3},\frac{13\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}]; b) (−5π12+kπ,−π12+kπ)(-\frac{5\pi}{12}+k\pi,-\frac\pi{12}+k\pi); c) [−π2+2kπ,π2+2kπ][-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi]; d) (−π6+kπ2,π6+kπ2)(-\frac\pi6+\frac{k\pi}{2},\frac\pi6+\frac{k\pi}{2}).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Na każdym przedziale monotoniczności tangensa odczytujemy odpowiedni półprzedział i wykluczamy asymptoty.

Odpowiedź

a) (−π2+kπ,π3+kπ)(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi3+k\pi); b) [π4+kπ,π2+kπ)[\frac\pi4+k\pi,\frac\pi2+k\pi); c) (−π4+kπ,π2+kπ)(-\frac\pi4+k\pi,\frac\pi2+k\pi); d) (π2+kπ,5π6+kπ](\frac\pi2+k\pi,\frac{5\pi}{6}+k\pi].

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Kwadrat tangensa zastępujemy warunkiem na moduł, rozwiązujemy na jednym okresie i powtarzamy co π\pi lub π/2\pi/2.

Odpowiedź

a) (π4+kπ,π2+kπ)∪(π2+kπ,3π4+kπ)(\frac\pi4+k\pi,\frac\pi2+k\pi)\cup(\frac\pi2+k\pi,\frac{3\pi}{4}+k\pi); b) (−π8+kπ2,π8+kπ2)(-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2},\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Rozwiązania okresowe tangensa przecinamy z [0,π][0,\pi], pamiętając o asymptotach wewnętrznych.

Odpowiedź

a) [0,π8]∪(π4,5π8)∪(3π4,π][0,\frac\pi8]\cup(\frac\pi4,\frac{5\pi}{8})\cup(\frac{3\pi}{4},\pi]; b) (π16,π8)∪(5π16,3π8)∪(9π16,5π8)∪(13π16,7π8)(\frac\pi{16},\frac\pi8)\cup(\frac{5\pi}{16},\frac{3\pi}{8})\cup (\frac{9\pi}{16},\frac{5\pi}{8})\cup(\frac{13\pi}{16},\frac{7\pi}{8}).

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem