MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 67 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każde równanie traktujemy jako kwadratowe w $\sin x$ , $\cos x$ albo $\tg x$ i odrzucamy poziomy spoza zbioru wartości.

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ ; b) $x=\pi+2k\pi$ ; c) $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ , $x=-\frac\pi6+2k\pi$ lub $x=\frac\pi2+2k\pi$ ; d) $x=k\pi$ ; e) $x=(2k+1)\pi$ lub $x=\pm\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ ; f) $x=\frac\pi6+k\pi$ lub $x=\frac\pi3+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy kolejno ze wzorów na podwójny kąt, przenosimy wszystko na jedną stronę i rozkładamy na czynniki.

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi6+2k\pi$ , $\frac\pi2+k\pi$ , $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ ; b) $x=-\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ , $-\frac\pi6+2k\pi$ , $\frac\pi2+k\pi$ ; c) $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ , $\frac\pi6+2k\pi$ , $\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ ; d) $x=\frac\pi2+k\pi$ ; e) $x=k\pi$ albo $\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}$ modulo $2\pi$ ; f) $x=\frac\pi8+k\pi$ lub $\frac{3\pi}{8}+k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Używamy jedynki trygonometrycznej i wzorów podwojonego kąta; każde równanie rozkłada się na proste czynniki.

Odpowiedź

a) $x=\frac\pi6,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$ modulo $2\pi$ ; b) $x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$ ; c) $x=\pm\frac\pi6+k\pi$ lub $\frac\pi2+k\pi$ ; d), f) $x=\frac\pi2+k\pi$ ; e) $x=k\pi$ lub $\frac{3\pi}{4}+k\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy lewe strony do pojedynczego sinusa lub cosinusa i odczytujemy tylko rozwiązania z $[0,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $0,\frac\pi2,2\pi$ ; b) $\frac\pi2,\pi$ ; c) $\frac\pi6$ ; d) $\frac\pi3,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$ ; e) $\frac\pi4,\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$ ; f) $\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pilnujemy dziedziny ułamków, sprowadzamy do wspólnego mianownika i rozkładamy liczniki na czynniki.

Odpowiedź

a) $x=2k\pi$ ; b) $x=\pm\frac\pi3+2k\pi$ ; c) $x=-\frac\pi4,\frac\pi4,\frac{3\pi}{4}$ modulo $2\pi$ ; d) $x=k\pi$ lub $x=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ modulo $2\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wzory na sumę i różnicę sprowadzają każde równanie do jednej funkcji wielokrotnego kąta; wybieramy rozwiązanie najbliższe zeru od lewej.

Odpowiedź

a) $-\frac\pi6$ ; b) $-\frac{2\pi}{3}$ ; c) $-\frac{3\pi}{4}$ ; d) $-\frac{3\pi}{8}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Równość sinusów/cosinusów rozpisujemy na dwie liniowe rodziny argumentów i usuwamy duplikaty.

Odpowiedź

a) $x=2k\pi$ lub $\frac\pi5+\frac{2k\pi}{5}$ ; b) $x=\frac{2k\pi}{7}$ lub $(2k+1)\pi$ ; c) $x=\frac{k\pi}{4}$ ; d) $x=\frac\pi7+\frac{2k\pi}{7}$ lub $(2k+1)\pi$ ; e) $x=-\frac\pi{12}+k\pi$ lub $\frac\pi{24}+\frac{k\pi}{2}$ ; f) $x=\frac\pi3+2k\pi$ lub $\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem