MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 64 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każdą prawą stronę do wartości szczególnej, rozwiązujemy równanie dla całego argumentu i przekształcamy liniowo do $x$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ . b) $x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ . c) $x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ . d) $x=\pi+4k\pi$ lub $x=2\pi+4k\pi$ . e) $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ lub $x=-\pi+2k\pi$ . f) $x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}$ lub $x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy równanie tangensa lub cotangensa dla pełnego argumentu, a następnie dzielimy przez współczynnik przy $x$ .

Odpowiedź

a) $x=-\frac{\pi}{16}+\frac{k\pi}{4}$ . b) $x=\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{6}$ . c) $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ . d) $x=\frac{\pi}{36}+\frac{k\pi}{3}$ . e) $x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ . f) $x=\frac{11\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Kwadrat lub moduł zastępujemy dwoma równaniami z przeciwnymi wartościami. W f moduł daje dwa poziomy: $\sin2x=0$ albo $\sin2x=1$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}$ . b) $x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}$ . c) $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$ . d) $x=\frac{k\pi}{2}$ . e) $x=\frac{\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}$ lub $x=\frac{2\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}$ . f) $x=\frac{k\pi}{2}$ lub $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po spierwiastkowaniu równań z kwadratem lub modułem bierzemy oba znaki, rozwiązujemy równania tangensa i wracamy do $x$ .

Odpowiedź

a) $x=\frac{3\pi}{16}+\frac{k\pi}{8}$ . b) $x=\pm\frac16+k$ . c) $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$ lub $x=-\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy sinus lub cosinus. Odrzucamy równania wymagające wartości spoza $[-1,1]$ .

Odpowiedź

a) $x=k\pi$ lub $x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ . b) $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ lub $x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$ . c) $x=k\pi$ . d) $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ . e) $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{6}+k\pi$ . f) $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczamy $t=\tg x$ i rozkładamy trójmian przez wyłączenie $t$ .

Odpowiedź

a) $x=k\pi$ lub $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ . b) $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ . c) $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przenosimy strony, wyłączamy wspólny czynnik i pilnujemy dziedziny tangensa. W a druga gałąź rozwiązań zawiera się już w pierwszej.

Odpowiedź

a) $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ .

b) $x=k\pi$ lub $x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}$ .

c) $x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$ lub $x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ lub $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem