Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 60

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.13. Wzory redukcyjne” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy funkcje sumy lub różnicy przez wzory z rozdziału. Wartości sinusa i cosinusa dla $\pi$ oraz $3\pi/2$ redukują wynik do pojedynczej funkcji kąta $\alpha$ .

Odpowiedź

a) $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$ . b) $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ . c) $\cos(3\pi/2+\alpha)=\sin\alpha$ . d) $\sin(3\pi/2-\alpha)=-\cos\alpha$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Redukujemy każdy kąt modulo pełny okres, ustalamy ćwiartkę i znak, a następnie korzystamy z wartości szczególnych.

Odpowiedź

a) $-\frac{\sqrt3}{2}$ . b) $-\frac12$ . c) $1$ . d) $\frac12$ . e) $-\frac{\sqrt3}{2}$ . f) $-\frac{\sqrt3}{2}$ . g) $\frac12$ . h) $-\frac{\sqrt3}{3}$ . i) $1$ . j) $-\frac{\sqrt2}{2}$ . k) $-\frac12$ . l) $-\frac{\sqrt3}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy kąty do $[0,2\pi)$ i stosujemy wzory redukcyjne.

Odpowiedź

a) $-\frac12$ . b) $-\frac{\sqrt2}{2}$ . c) $\frac{\sqrt2}{2}$ . d) $-\frac12$ . e) $-\frac12$ . f) $\frac{\sqrt2}{2}$ . g) $\frac{\sqrt3}{2}$ . h) $-\sqrt3$ . i) $-\sqrt3$ . j) $-1$ . k) $\frac{\sqrt3}{3}$ . l) $-\frac{\sqrt3}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odejmujemy całkowite wielokrotności $360^\circ$ i korzystamy z kątów $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ wraz ze znakami ćwiartek.

Odpowiedź

a) $\frac{\sqrt3}{2}$ . b) $\frac{\sqrt2}{2}$ . c) $\frac{\sqrt3}{2}$ . d) $-\frac{\sqrt2}{2}$ . e) $-\frac12$ . f) $-\frac{\sqrt3}{2}$ . g) $-\frac{\sqrt3}{3}$ . h) $\frac{\sqrt3}{3}$ . i) $-1$ . j) $-\frac12$ . k) $\frac{\sqrt3}{3}$ . l) $-\sqrt3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy kąt redukujemy do jednego z kątów $18^\circ,36^\circ, 54^\circ$ albo do kąta dopełniającego i odczytujemy wartość z tabeli.

Odpowiedź

a) $\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4$ . b) $\frac{1-\sqrt5}{4}$ . c) $-\frac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ . d) $-\frac{\sqrt5+1}{4}$ . e) $-\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4$ . f) $-\frac{\sqrt5+1}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z $\cos x=1/4$ i I ćwiartki mamy $\sin x=\sqrt{1-1/16}=\sqrt{15}/4$ . Następnie stosujemy wzory redukcyjne.

Odpowiedź

a) $-\frac14$ . b) $\frac{\sqrt{15}}4$ . c) $-\frac{\sqrt{15}}4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem