Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 57

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.12. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów” · 8 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 5

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W a wyłączamy różnicę kwadratów. W b rozwijamy kwadrat jedynki trygonometrycznej. W c–d stosujemy wzory iloczyn–suma albo bezpośrednio rozwijamy funkcje sumy i różnicy.

Odpowiedź

a) $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=-\cos2\alpha$ . b) $\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=1-\frac12\sin^22\alpha$ . c) iloczyn upraszcza się do $\sin^2\alpha-\sin^2\beta$ . d) iloczyn upraszcza się do $\cos^2\alpha-\sin^2\beta$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpoznajemy sinus sumy, sinus różnicy, przeciwny cosinus sumy oraz cosinus różnicy.

Odpowiedź

a) $\frac12$ . b) $\frac{\sqrt2}{2}$ . c) $\frac{\sqrt3}{2}$ . d) $-\frac12$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy wzory połowy kąta dla kwadratów: $\sin^2\alpha=(1-\cos2\alpha)/2$ , $\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2$ , a znaki dobieramy z ćwiartki.

Odpowiedź

a) $\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{4}$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt{14}}4$ , $\tg\alpha=\frac{\sqrt7}{7}$ . b) $\sin\alpha=-\frac{\sqrt2}{4}$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt{14}}4$ , $\tg\alpha=-\frac{\sqrt7}{7}$ . c) $\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}$ , $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{3}$ , $\tg\alpha=-\sqrt2$ . d) $\sin\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$ , $\tg\alpha=-\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z $\cos\alpha=2\cos^2(\alpha/2)-1$ i $\cos\alpha=1-2\sin^2(\alpha/2)$ wyznaczamy kwadraty, a pierwiastkowanie bez informacji o ćwiartce daje moduły. Dla $\alpha=\pi/6$ połówka leży w I ćwiartce, więc wybieramy znaki dodatnie.

Odpowiedź

$\left|\cos\frac\alpha2\right|= \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ , $\left|\sin\frac\alpha2\right|= \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ .

$\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ , $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzorów połowy kąta i ustalamy znaki z przedziału dla $\alpha/2$ .

Odpowiedź

a) $\sin\frac\alpha2=\frac{\sqrt5}{5}$ , $\cos\frac\alpha2=\frac{2\sqrt5}{5}$ .

b) $\sin\frac\alpha2=\frac{2\sqrt5}{5}$ , $\cos\frac\alpha2=-\frac{\sqrt5}{5}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy $a\sin x+b\cos x$ do postaci $R\sin(x+\varphi)$ , gdzie $R=\sqrt{a^2+b^2}$ . Zbiór wartości to $[-R,R]$ .

Odpowiedź

a) $\sqrt2\sin(x-\pi/4)$ , $W=[-\sqrt2,\sqrt2]$ . b) $2\sin(x+\pi/3)$ , $W=[-2,2]$ . c) $2\sin(x+\pi/6)$ , $W=[-2,2]$ . d) $2\sin(x-\pi/3)$ , $W=[-2,2]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $t=\tg\alpha$ do $\tg2\alpha=2t/(1-t^2)$ i upraszczamy.

Odpowiedź

a) $\frac43$ . b) $1$ . c) $-1$ . d) $-\frac{\sqrt3}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wzorach na tangens sumy i różnicy podstawiamy $\tg\alpha=\sqrt2$ , $\tg\beta=2\sqrt2$ , zatem ich iloczyn wynosi $4$ .

Odpowiedź

$\tg(\alpha+\beta)=-\sqrt2$ , $\tg(\alpha-\beta)=-\frac{\sqrt2}{5}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem