MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 56

Kolejno $\sin(30^\circ+\beta)$ i $\sin(60^\circ-\beta)$:

a) $\frac{3+4\sqrt3}{10}$, $\frac{3\sqrt3-4}{10}$. b) $\frac{-3+4\sqrt3}{10}$, $\frac{-3\sqrt3-4}{10}$. c) $\frac{5-12\sqrt3}{26}$, $\frac{5\sqrt3+12}{26}$. d) $\frac{-24-7\sqrt3}{50}$, $\frac{7-24\sqrt3}{50}$.

Kolejno $\cos(45^\circ+\beta)$ i $\cos(60^\circ-\beta)$:

a) $\frac{2\sqrt3-\sqrt6}{6}$, $\frac{3+\sqrt6}{6}$. b) $\frac{4+\sqrt2}{6}$, $\frac{2\sqrt2-\sqrt3}{6}$.

a) $\sin(\alpha+\beta)=-\frac{44}{125}$, $\cos(\alpha+\beta)=-\frac{117}{125}$.

b) $\sin(\alpha-\beta)=\frac{12+3\sqrt7}{20}$, $\cos(\alpha-\beta)=\frac{-9+4\sqrt7}{20}$.

c) $\sin(\alpha-\beta)=0$, $\cos(\alpha+\beta)=-\frac79$.

Po uproszczeniu otrzymujemy dokładnie: a) $\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$; b) $\frac12[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$; c) $\frac12[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)]$; d) $-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha$; e) $4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$; f) $1-8\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

$\tg(\alpha+\beta)= \frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}$ oraz $\tg(\alpha-\beta)= \frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}$ w ich dziedzinach.

a) $\tg15^\circ=2-\sqrt3$. b) $\tg75^\circ=2+\sqrt3$. c) $\tg105^\circ=-2-\sqrt3$. d) $\tg120^\circ=-\sqrt3$.

$\ctg2\alpha= \frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}$ dla wskazanych wartości $\alpha$.