Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 55

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.12. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 2

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpoznajemy kolejno sinus różnicy, sinus sumy, cosinus różnicy oraz przeciwny cosinus sumy.

Odpowiedź

a) $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ . b) $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ . c) $\cos\pi=-1$ . d) $-\cos\frac{\pi}{2}=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

We wzorach na sumę podstawiamy $\beta=\alpha$ .

Odpowiedź

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ oraz $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

2 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Do $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ podstawiamy raz $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ , a raz $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$ .

Odpowiedź

$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ oraz $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy brakującą funkcję ze znakiem zgodnym z ćwiartką, a potem stosujemy wzory podwojonego kąta.

Odpowiedź

a) $\cos2\alpha=-\frac7{25}$ , $\sin2\alpha=\frac{24}{25}$ . b) $\cos2\alpha=-\frac{119}{169}$ , $\sin2\alpha=\frac{120}{169}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Używamy $\cos^2\alpha=(1+\cos2\alpha)/2$ i $\sin^2\alpha=(1-\cos2\alpha)/2$ . Znaki wynikają z przedziału dla $2\alpha$ , a więc także dla $\alpha$ .

Odpowiedź

a) $\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{3}$ , $\cos\alpha=\frac{\sqrt6}{3}$ .

b) $\sin\alpha=\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{10}}$ , $\cos\alpha=\sqrt{\frac{5-2\sqrt5}{10}}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem