MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 52 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W a stosujemy różnicę kwadratów. W b wyłączamy $\cos x$ . W c rozwijamy kwadrat. W d obie strony sprowadzamy do $\sin^2x-\cos^2x$ . W e–f używamy $1+\tg^2x=1/\cos^2x$ .

Odpowiedź

Każda z równości a–f po zastosowaniu $\sin^2x+\cos^2x=1$ upraszcza się do tej samej wartości po obu stronach, zatem jest tożsamością w swojej dziedzinie.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 2

6 podpunktów

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy składniki do wspólnego mianownika. W c–f mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone; pojawia się $1-\cos^2x=\sin^2x$ albo $1-\sin^2x=\cos^2x$ .

Odpowiedź

Po skróceniu: a) $\tg x$ ; b) $1/\sin x+1/\cos^2x$ ; c) $(1-\cos x)/\sin x$ ; d–e) $2/\sin x$ ; f) $2/\cos x$ . Są to prawe strony podanych tożsamości.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3

6 podpunktów

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W a sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika $\cos^2x$ . W b używamy $1+\tg^2x=1/\cos^2x$ i $1+\ctg^2x=1/\sin^2x$ . W c zastępujemy $\ctg x=1/\tg x$ . W d–f wszystko zapisujemy przez $\sin x,\cos x$ lub sam tangens.

Odpowiedź

Każda lewa strona redukuje się odpowiednio do: a) $-4\sin x/\cos^2x$ ; b) $\cos x/\sin x$ ; c) $(1+\tg x)/(1-\tg x)$ ; d) $\tg x/\cos x$ ; e) $\sin^2x$ ; f) $(\tg^2x-1)/(\tg^2x+1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 4

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Brakującą funkcję wyznaczamy z jedynki trygonometrycznej, wybierając znak zgodny z ćwiartką, a następnie obliczamy ilorazy.

Odpowiedź

a) $\sin x=\frac{\sqrt{15}}4$ , $\tg x=-\sqrt{15}$ , $\ctg x=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ . b) $\sin x=-\frac{\sqrt{15}}4$ , $\tg x=\sqrt{15}$ , $\ctg x=\frac{\sqrt{15}}{15}$ . c) $\cos x=-\frac{\sqrt5}{3}$ , $\tg x=-\frac{2\sqrt5}{5}$ , $\ctg x=-\frac{\sqrt5}{2}$ . d) $\cos x=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ , $\tg x=-\frac13$ , $\ctg x=-3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Bez informacji o ćwiartce brakująca funkcja może mieć dwa znaki. W każdej parze znaki funkcji ilorazowych są skorelowane ze znakiem wyznaczonego sinusa lub cosinusa.

Odpowiedź

a) $\cos x=\pm\frac{2\sqrt2}{3}$ , $\tg x=\pm\frac{\sqrt2}{4}$ , $\ctg x=\pm2\sqrt2$ . b) $\cos x=\pm\frac5{13}$ , $\tg x=\mp\frac{12}{5}$ , $\ctg x=\mp\frac5{12}$ . c) $\sin x=\pm\frac{\sqrt5}{3}$ , $\tg x=\mp\frac{\sqrt5}{2}$ , $\ctg x=\mp\frac{2\sqrt5}{5}$ . d) $\sin x=\pm\frac{\sqrt5}{5}$ , $\tg x=\pm\frac12$ , $\ctg x=\pm2$ . e) $\cos x=\pm\frac{24}{25}$ , $\tg x=\pm\frac7{24}$ , $\ctg x=\pm\frac{24}{7}$ . f) $\sin x=\pm\frac{24}{25}$ , $\tg x=\mp\frac{24}{7}$ , $\ctg x=\mp\frac7{24}$ . g) $\cos x=\pm\frac14$ , $\tg x=\mp\sqrt{15}$ , $\ctg x=\mp\frac{\sqrt{15}}{15}$ . h) $\sin x=\pm\frac25$ , $\tg x=\pm\frac{2\sqrt{21}}{21}$ , $\ctg x=\pm\frac{\sqrt{21}}2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z ilorazu budujemy trójkąt pomocniczy, a znaki sinusa i cosinusa ustalamy z podanej ćwiartki.

Odpowiedź

a) $\sin x=\frac{\sqrt5}{5}$ , $\cos x=-\frac{2\sqrt5}{5}$ , $\ctg x=-2$ . b) $\sin x=-\frac{\sqrt5}{5}$ , $\cos x=\frac{2\sqrt5}{5}$ , $\ctg x=-2$ . c) $\sin x=\frac{\sqrt5}{3}$ , $\cos x=\frac23$ , $\ctg x=\frac{2\sqrt5}{5}$ . d) $\sin x=-\frac{3\sqrt{13}}{13}$ , $\cos x=-\frac{2\sqrt{13}}{13}$ , $\tg x=\frac32$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z $1+\tg^2x=1/\cos^2x$ wyznaczamy moduł cosinusa, a następnie sinus. Bez ćwiartki oba mogą jednocześnie zmienić znak; cotangens jest odwrotnością podanego tangensa.

Odpowiedź

a) $(\sin x,\cos x)=(\pm\frac35,\pm\frac45)$ z tym samym znakiem, $\ctg x=\frac43$ . b) $(\sin x,\cos x)=(\mp\frac{4\sqrt{17}}{17}, \pm\frac{\sqrt{17}}{17})$ , $\ctg x=-\frac14$ . c) $(\sin x,\cos x)=(\mp\frac{12}{13},\pm\frac5{13})$ , $\ctg x=-\frac5{12}$ . d) $(\sin x,\cos x)=(\pm\frac{\sqrt5}{5}, \pm\frac{2\sqrt5}{5})$ z tym samym znakiem, $\ctg x=2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $t=\tg x$ , wtedy $\ctg x=1/t$ i $t+1/t=3$ . Korzystamy ze wzorów $(t+1/t)^2=t^2+t^{-2}+2$ oraz $(t+1/t)^3=t^3+t^{-3}+3(t+1/t)$ .

Odpowiedź

$\tg^2x+\ctg^2x=7$ oraz $\tg^3x+\ctg^3x=18$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem