Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 49

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.11. Tożsamości trygonometryczne” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Z definicji współrzędnych punktu na ramieniu kąta mamy sin⁡x=y/r\sin x=y/r i cos⁡x=x0/r\cos x=x_0/r, więc ich ilorazy dają tangens i cotangens. Ich iloczyn jest równy 11 wszędzie, gdzie oba są określone.

Odpowiedź

tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}, ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x} oraz ctg⁡x=1/tg⁡x\ctg x=1/\tg x i tg⁡x=1/ctg⁡x\tg x=1/\ctg x w dziedzinach podanych przy poszczególnych tożsamościach.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

2 podpunkty

brak w kluczu
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) 1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2x=\cos^2x, więc cos⁡2x⋅sin⁡x/cos⁡x=sin⁡xcos⁡x\cos^2x\cdot\sin x/\cos x=\sin x\cos x.

b) Oznaczając t=tg⁡xt=\tg x i używając ctg⁡x=1/t\ctg x=1/t: (1−t)(1+1/t)=1+1/t−t−1=1/t−t(1-t)(1+1/t)=1+1/t-t-1=1/t-t.

Odpowiedź

Obie lewe strony upraszczają się odpowiednio do sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x oraz ctg⁡x−tg⁡x\ctg x-\tg x, więc tożsamości zachodzą w podanych dziedzinach.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu