Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 47

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „*1.10. Przekształcenia wykresu funkcji (3)” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 6

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyrażenie $|u|+u$ jest dodatnie dokładnie dla $u>0$ , a $|u|-u$ dokładnie dla $u<0$ . Podstawiamy znak sinusa, cosinusa lub tangensa.

Odpowiedź

a) $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ . b) $(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ . c) $(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$ . d) $(-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\pi)$ , $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $t=|\tg x|\ge0$ . Równanie $|t-1|=m$ daje $t=1+m$ oraz, gdy $m\le1$ , $t=1-m$ . Dla dodatniego $t$ w przedziale $[-\pi,\pi]$ są cztery rozwiązania; dla $t=0$ są trzy: $-\pi,0,\pi$ .

Odpowiedź

Liczba rozwiązań wynosi: $0$ dla $m<0$ ; $4$ dla $m=0$ ; $8$ dla $0<m<1$ ; $7$ dla $m=1$ ; $4$ dla $m>1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 9

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy parametr należy do zbioru wartości lewej strony. Korzystamy z zakresów modułu sinusa, cosinusa i tangensa oraz monotoniczności odwrotności na dodatnich liczbach.

Odpowiedź

a) $a\in[0,3]$ . b) $a\in[1,2]$ . c) $a\in[2,\infty)$ . d) $a\in[0,\infty)$ . e) $a\in[\frac13,1]$ . f) $a\in[\frac12,1]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Pierwsze równanie oznacza $\tg x=\pm1$ . W drugim podstawiamy $u=|x|\ge0$ : $\tg u=1$ , więc w rozważanym zakresie $u=\pi/4$ albo $5\pi/4$ .

Odpowiedź

$|\tg x|=1$ : $x\in\{-\frac{7\pi}{4},-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\}$ .

$\tg|x|=1$ : $x\in\{-\frac{5\pi}{4},-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W a dla $x\ge0$ rysujemy $1-\tg x$ i odbijamy względem $OY$ . W b osią symetrii jest $x=\pi/3$ . W c budujemy prawą połowę $\tg(x-\pi/3)$ i odbijamy ją względem $OY$ .

Odpowiedź

a) wykres parzysty $1-\tg|x|$ . b) wykres symetryczny względem prostej $x=\pi/3$ . c) wykres parzysty $\tg(|x|-\pi/3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Iloraz $|u|/u$ jest równy $1$ dla $u>0$ i $-1$ dla $u<0$ , a nie istnieje dla $u=0$ . Dodatkowo w c tangens musi być określony.

Odpowiedź

a) $D=\mathbb R\setminus\{k\pi\}$ ; wartość $1$ dla $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$ i $-1$ dla $x\in((2k-1)\pi,2k\pi)$ .

b) $D=\mathbb R\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}$ ; wartość $1$ tam, gdzie $x\in(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ , i $-1$ dla $x\in(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi)$ .

c) $D=\mathbb R\setminus\{\frac{k\pi}{2}:k\in\mathbb Z\}$ ; wartość $1$ dla $x\in(k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$ i $-1$ dla $x\in(-\frac{\pi}{2}+k\pi,k\pi)$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem