Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 33

rozdział 1. Funkcje trygonometryczne · temat „Wykres funkcji cotangens” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw zapisujemy rozwiązanie ogólne, a następnie dobieramy najmniejsze $k$ , dla którego liczba jest większa od $3$ .

Odpowiedź

a) $x=k\pi$ ; najmniejsza: $\pi$ . b) $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ ; $\frac{5\pi}{4}$ . c) $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ ; $\frac{7\pi}{4}$ . d) $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$ ; $\frac{11\pi}{6}$ . e) $x=\frac{\pi}{6}+k\pi$ ; $\frac{7\pi}{6}$ . f) $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$ ; $\frac{7\pi}{4}$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z rozwiązań ogólnych i wybieramy jedyną wartość z podanego przedziału długości $\pi$ .

Odpowiedź

a) $\frac{7\pi}{3}$ . b) $-\frac{8\pi}{3}$ . c) $\frac{19\pi}{4}$ . d) $\frac{10\pi}{3}$ . e) $-\frac{13\pi}{4}$ . f) $\frac{19\pi}{4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W przedziale długości $4\pi$ wypisujemy cztery kolejne rozwiązania (dla $\tg x=0$ także oba końce) i sumujemy ciąg arytmetyczny.

Odpowiedź

a) $10\pi$ . b) $7\pi$ . c) $\frac{28\pi}{3}$ . d) $9\pi$ . e) $\frac{26\pi}{3}$ . f) $8\pi$ . g) $7\pi$ . h) $\frac{22\pi}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z danych mamy $\tg(\pi/10)\approx0{,}3249$ oraz $\tg(-3\pi/10)\approx-1{,}3764$ . Dodajemy właściwą wielokrotność $\pi$ .

Odpowiedź

a) $x\approx\frac{21\pi}{10}$ . b) $x\approx\frac{27\pi}{10}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z tabeli odczytujemy rozwiązanie w jednym okresie, po czym dodajemy $k\pi$ i wybieramy wartości z $[-\pi,2\pi]$ .

Odpowiedź

a) $-\frac{11\pi}{12},\frac{\pi}{12},\frac{13\pi}{12}$ . b) $-\frac{7\pi}{8},\frac{\pi}{8},\frac{9\pi}{8}$ . c) $-\frac{7\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{17\pi}{12}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wykorzystujemy przeciwne wartości z tabeli i nieparzystość funkcji, a następnie dodajemy okres $\pi$ .

Odpowiedź

a) $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi$ . b) $x=-\frac{\pi}{12}+k\pi$ . c) $x=-\frac{\pi}{8}+k\pi$ , gdzie $k\in\mathbb Z$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego kątowi $x$ prowadzimy promień. Jego przecięcie ze styczną $x=1$ ma rzędną $\tg x$ . Zmieniając $x$ od $0$ do $\pi/2$ , przenosimy tę rzędną nad tę samą odciętą $x$ w układzie wykresu. Przy $x\to(\pi/2)^-$ rzędne rosną bez ograniczeń, więc $x=\pi/2$ jest asymptotą.

Odpowiedź

Konstrukcja daje rosnącą gałąź od $(0,0)$ do asymptoty $x=\pi/2$ ; kolejne gałęzie otrzymuje się dzięki okresowi $\pi$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu