MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 322

Suma wynagrodzeń wszystkich pracowników jest równa

$$2900+3100+3100+3240+3290+3300+3320+3750+5800+8000 =39\,800\ \text{zł}.$$

Średnie wynagrodzenie wynosi więc

$$\bar{x}=\frac{39\,800}{10}=3980\ \text{zł}.$$

Od tej kwoty wyższe są tylko wynagrodzenia $5800$ zł i $8000$ zł, czyli wynagrodzenia dwóch pracowników.

Ze skanu odczytujemy, że odpowiedzi $0$, $1$, $4$ i $6$ godzin stanowią po $10\%$ wyników, a odpowiedzi $2$ i $3$ godziny — po $30\%$. W grupie $50$ osób odpowiada to liczebnościom

$$5,\ 5,\ 15,\ 15,\ 5,\ 5.$$

Po uporządkowaniu danych $25.$ wartością jest $2$, a $26.$ wartością jest $3$. Zatem mediana wynosi

$$M=\frac{2+3}{2}=2{,}5.$$

Średnia arytmetyczna jest równa

$$\bar{x} =\frac{0\cdot5+1\cdot5+2\cdot15+3\cdot15+4\cdot5+6\cdot5}{50} =\frac{130}{50}=2{,}6.$$

Mediana jest więc niższa od średniej o

$$2{,}6-2{,}5=0{,}1.$$

Ponieważ liczby są uporządkowane, ich mediana jest średnią dwóch środkowych liczb. Mamy zatem

$$\frac{b+c}{2}=7,$$

czyli $b+c=14$. Korzystamy z tożsamości

$$(b-c)^2=(b+c)^2-4bc.$$

Po podstawieniu danych otrzymujemy

$$(b-c)^2=14^2-4\cdot24=196-96=100.$$

Ze skanu odczytujemy temperatury z pierwszego tygodnia:

$$2,\ 4,\ -3,\ -2,\ -1,\ -1,\ 1.$$

Ich suma jest równa $0$, zatem

$$\bar{x}_1=0^\circ\text{C}.$$

W drugim tygodniu temperatury wynosiły

$$-5,\ -2,\ 0,\ -1,\ -4,\ -3,\ 1.$$

Ich suma jest równa $-14$, więc

$$\bar{x}_2=\frac{-14}{7}=-2^\circ\text{C}.$$

Oba tygodnie mają po siedem pomiarów, dlatego ich łączna średnia wynosi

$$\bar{x}_3=\frac{0+(-14)}{14}=-1^\circ\text{C}.$$

Otrzymujemy więc

$$\bar{x}_2<\bar{x}_3<\bar{x}_1.$$

Wagi zestawu $X$ mają sumę $1$, zatem

$$\bar{x}_1 =10\cdot0{,}5+15\cdot0{,}4+20\cdot0{,}1 =5+6+2=13.$$

Wagi zestawu $Y$ mają sumę $0{,}3+1{,}2+1{,}5=3$, więc

$$\bar{x}_2 =\frac{10\cdot0{,}3+15\cdot1{,}2+20\cdot1{,}5}{3} =\frac{3+18+30}{3}=17.$$

Stąd

$$\bar{x}_2-\bar{x}_1=17-13=4.$$